torielles n sur X qui sont nulles sur le noyau N de l'application
f -+ f b . Pour que n E A, il est donc nCcessaire et suffisant que les
mesures scalaires z ' o n soient nulles sur N pour tout z' E Et.
On déduit alors de la prop. 3 que n E A si et seulement si l'on a
3. Autre interprétation de Ag.
Pour tout x E X , l'application k -+XE de H dans X est
propre (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 4, no 2, prop. 4), donc
/3 admet une mesure image dans X par cette application, image
qui est concentrée sur l'orbite XH (chap. V, § 6, no 2, cor. 3
de la prop. 2) ; comme P est invariante à gauche, cette mesure
image ne dépend que de la classe u = x(x) de x dans X/H, et
sera notée pu. Par définition, pour f E X(X), on a
On voit donc que
Lemme 2. - Soit f une fonction sur X, à valeurs dans rin
espace topologique.
a) Si f est une fonction numérique 2 O, on a, pour x E X
b) Pour que f soit @;-mesurable, il faut et il sufit que la
fonction E -. f(xE) sur I H soit p-mesurable.
c) Supposons que f soi1 1 1 1 ~ fonction sur X, à valeurs dans
un espace de Banach ou dans k ; alors, pour que f soit pi-intégrable (resp. essentiellement pi-intégrable), il faut et il suffit que
la fonction t -* f(xE) sur H soit @-intégrable (resp. essentiellement
Cela résulte du chap. V, 5 4, prop. 2, prop. 3 et th. 2.