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INTÉGRATION
chap. VII, 5 2
b) Réciproquement, soit p une mesure sur X telle que
tî(<)p = AH(t)p pour tout E E H . Il existe une mesure h ef une
seule sur X/H telle que p = A#.
C'est un cas particulier du no 1.
DÉFINITION 1. - Les hypothèses et les notations étant celles
de la prop. 4, ), s'appelle le quotient de p par P et se note - P
L'application A - A# de d ( X / H ) dans A ( X ) n'est autre
que la transposée de l'application f - f b de Z(X) dans %(X/H).
Soit 3 un filtre sur d(X/H) ; dire que limA,% h#(f) = O pour
toute f E Z ( X ) équivaut à dire que limA,% h(ff) = O pour toute
f' E Z(X/H) ; l'application A - A# est donc, pour les topologies
vagues, un isomorphisme de A(X/H) sur un sous-espace vectoriel de &()o. Ce sous-espace est vaguement fermé, puisqu'il
est l'ensemble des p E d ( X ) telles que S([)p = AH(E)p pour
tout 5 E H. Il est clair que les conditions h O e t h* 3 O sont
équivalentes.
La formule (6) s'écrit, par analogie avec la notation usuelle
pour les intégrales doubles
Il s'agit d'un abus de notations, l'intégrale j f(xQdp(9 6tant
H
considérée comme fonction de 2 et non de x ; cette manière
d'écrire s'emploiera souvent par la suite quand elle ne pourra
prêter à confusion.
Remarque 2. - Soit E un espace vectoriel localement convexe
et soit m une mesure vectorielle sur X/H, à valeurs dans E.
L'application f +m(fb) de X(X) dans E est alors une mesure
vectorielle sur X, à valeurs dans E, que nous noterons encore
m*. L'application m + m# est encore un isomorphisme de
P(X(X/H); E) sur un sous-espace vectoriel A de 9(X(X); E)
(si on munit ces espaces de la topologie de la convergence simple).
De plus, comme l'application f -. f b est un morphisme strict surjectif, le sous-espace A se compose exactement des mesures vec-