On n'oubliera pas que la définition de f b dépend' du choix de
p. Si H est compact et p normalisée, la fonction f b s'appelle parfois moyenne orbitale de f .
Si f E X(X), on a f b E X(X/H). L'application f - f b d e
Z ( X ) d a n s &(X/H) est linéaire, et l'image d e X(X) (resp.
Y+(X)) est .%"(X/H) (resp. X+(X/H)).
Remarque 1. - On va montrer que l'application f - fb est un
morphisme strict (Top. gén., chap. III, 3 e éd., 5 2, no 8) de S ( X )
sur X(X/H).
a) Cette application est continue : il suffit de prouver que,
pour toute partie compacte K de X, la restriction à X(X, K)
de f - fb est une application continue de X(X, K) dans
X(X/H, n(K)) (Esp. uect. top., chap. II, 5 2, no 2, cor. de la
prop. 1) ; comme H opère proprement dans X, l'ensemble P des
E , = H tels que K& rencontre K est compact ; on conclut de (3)
que sup Ifb(n(x))l L p(P) sup If(x)l, et ceci prouve notre assertion.
XEK
sel<
b) Soit K' une partie compacte de X/H. Choisissons une partie
compacte K de X telle que n(K) = K', et montrons que la restriction de f -. f b à Z ( X , K) est un morphisme strict de %(X, I<)
sur X(X/H, Kr). Il suffit de construire pour cette restriction un
inverse à droite (Esp. uect. top., chap. 1, 5 1, no 8, prop. 13). Or,
d'après le lemme 1 du no 1 (dont nous adoptons les notations),
on obtient un tel inverse en composant les applications suivantes :
LX) l'application f' -* f' n de Z(X/H, K') dans l'ensemble E
des fonctions de Z1(X) dont le support est contenu dans K H ;
p) l'application de E dans E qui, à toute g E E, fait correspondre la fonction égale à glu1 dans KH, à O dans X - K H ;
y) l'application de E dans X(X) qui, à toute fonction h 6 E,
fait correspondre uh.
c) Ceci posé, si V est un voisinage convexe de O dans Y(X),
V n Z ( X , K) est un voisinage convexe de O dans X(X, K), donc
Vb fi Z(X/H, KI) est un voisinage convexe de O dans X(X/H, K')
d'après b), donc Vb est un voisinage de O dans X(X/H) (Esp.
vect. top., chap. II, § 2, no 4). Ceci achève la démonstration.
PROPOSITION 4. - a) Soit A une mesure sur X/H. Il existe
une mesure A# et une seule sur X telle que
1 fbdh =Sx fdhg
XIH
quelle que soit f E X ( X ) . On a S([)A# = A,(EJÀ"ouF tout i E H.
p. Si H est compact et p normalisée, la fonction f b s'appelle parfois moyenne orbitale de f .
Si f E X(X), on a f b E X(X/H). L'application f - f b d e
Z ( X ) d a n s &(X/H) est linéaire, et l'image d e X(X) (resp.
Y+(X)) est .%"(X/H) (resp. X+(X/H)).
Remarque 1. - On va montrer que l'application f - fb est un
morphisme strict (Top. gén., chap. III, 3 e éd., 5 2, no 8) de S ( X )
sur X(X/H).
a) Cette application est continue : il suffit de prouver que,
pour toute partie compacte K de X, la restriction à X(X, K)
de f - fb est une application continue de X(X, K) dans
X(X/H, n(K)) (Esp. uect. top., chap. II, 5 2, no 2, cor. de la
prop. 1) ; comme H opère proprement dans X, l'ensemble P des
E , = H tels que K& rencontre K est compact ; on conclut de (3)
que sup Ifb(n(x))l L p(P) sup If(x)l, et ceci prouve notre assertion.
XEK
sel<
b) Soit K' une partie compacte de X/H. Choisissons une partie
compacte K de X telle que n(K) = K', et montrons que la restriction de f -. f b à Z ( X , K) est un morphisme strict de %(X, I<)
sur X(X/H, Kr). Il suffit de construire pour cette restriction un
inverse à droite (Esp. uect. top., chap. 1, 5 1, no 8, prop. 13). Or,
d'après le lemme 1 du no 1 (dont nous adoptons les notations),
on obtient un tel inverse en composant les applications suivantes :
LX) l'application f' -* f' n de Z(X/H, K') dans l'ensemble E
des fonctions de Z1(X) dont le support est contenu dans K H ;
p) l'application de E dans E qui, à toute g E E, fait correspondre la fonction égale à glu1 dans KH, à O dans X - K H ;
y) l'application de E dans X(X) qui, à toute fonction h 6 E,
fait correspondre uh.
c) Ceci posé, si V est un voisinage convexe de O dans Y(X),
V n Z ( X , K) est un voisinage convexe de O dans X(X, K), donc
Vb fi Z(X/H, KI) est un voisinage convexe de O dans X(X/H, K')
d'après b), donc Vb est un voisinage de O dans X(X/H) (Esp.
vect. top., chap. II, § 2, no 4). Ceci achève la démonstration.
PROPOSITION 4. - a) Soit A une mesure sur X/H. Il existe
une mesure A# et une seule sur X telle que
1 fbdh =Sx fdhg
XIH
quelle que soit f E X ( X ) . On a S([)A# = A,(EJÀ"ouF tout i E H.