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INTÉGRATION
chap. VII, 5 2
ce qui prouve c).
c) => d) : si c) est vérifiée et si f X = O, on a p ( f . gl) = O
pour toute g E S(X), donc p(f) = O en choisissant g E Z ( X )
telle que g1 = 1 sur Supp f (ce qui est possible d'après la prop. 2
appliquée avec x = 1).
d ) => a) : si la condition d) est satisfaite, il existe une forme
linéaire 1 sur X X ( X ) telle que p(f) = I ( f X ) pour f E X ( X ) , et
cette forme est relativement bornée en vertu de la prop. 2.
Si f est une fonction sur X/H, f o n est une fonction sur X
constante sur les orbites, continue si et seulement si f est continue. L'application f - f O x définit en particulier une bijection
de X(X/H) sur Z1(X).
Nous pouvons alors, dans le cas où x = 1, reformuler de
la manière suivante certains résultats du no 1 :
Soit f une fonction numérique continue dans X dont le
support ait une intersection compacte avec le saturé de toute
partie compacte de X. La formule
définit une fonction continue f b sur X/H. Si g est une fonction
continue sur X/H, on a