a) On a inf ul(x) > 0.
xeKH
b) La fonction h égale à glu1 dans KH, à O dans X - KH,
appartient à ZX(X).
c) g = ( ~ h ) ~ .
On a ul(x) > 0 pour x E K, donc inf ul(x) = inf ul(x) > 0.
xeKH
xaK
L'assertion b) en résulte aussitôt. Enfin, d'après la prop. 1 c),
on a ( ~ h ) ~
= ulh, et il est clair que ulh = g.
Soit 1 une forme linéaire relativement bornée (chap. II,
5 2, no 2) sur YX(X). Alors f -. I(fc) est une forme linéaire
relativement bornée sur %(X), c'est-à-dire une mesure p1 sur
X. L'application 1 - p, est injective d'après la prop. 2. Les
mesures p, ainsi obtenues sur X peuvent être caractérisées
comme suit :
PROPOSITION 3. - Soit p une mesure sur X. Les conditions
suivantes sont équivalentes :
a) I l existe une forme linéaire relativement bornée 1 sur
Xx(X) telle que I(fc) = p(f) pour toute f E Z(X).
b) S(Qp = ~(E)-lA~(f)p pour tout 6 E H.
c) Quelles que soient f, g dans X ( X ) , on a
d) Si f E T ( X ) est telle que f X = O, alors t*(f) = 0.
a)
b) : si p(f) = I(fc), on a, compte tenu de la prop. 1 d) :
donc s(F)p = x(S)-lAa(t)~.
b) + c) : supposons l'hypothèse b) satisfaite. Observons que
les fonctions (x, 5) -+ f(x)g(xE) et (x, 5) - f(xE,)g(x) sur X x H
sont continues a support compact (parce que H opère proprement dans X) ; ceci posé, le th. 2 du chap. III, $5, no 1 permet
d'écrire :