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INTEGRATION
chap. V I I , $ 2
b) L a fonction fX est continue, est nulle hors de S H , et satisfait à f"(x4) = x(F)fX(x).
c) S i g est une fonction numérique continue sur X et satisfait à g(x[) = ~(()g(x), on a (fg)X = flg (fl étant donné par
la formule (1) où on remplace x par la représentation 5 -+ 1
de H dans R : ) .
d) S i r E H, on a (S(r)f)X = x(r)A~(r))-Y.
Soient x, E X et V un voisinage compact de x, dans X.
L'ensemble des E H tels que VE rencontre S est aussi
l'ensemble des E H tels que VE rencontre S n VH, donc est
compact dans H puisque S n VH est compact et que H opére
proprement dans X (Top. Gén., chap. I I I , 3e éd., $ 4, no 5,
th. 1) ; alors le lemme 1 du $ 1, no 1 prouve a) et la continuité
de f7L. Le reste de b) est évident. Enfin c) et d) résultent des
calculs suivants :
PROPOSITION 2. - L'application f - fX de Y(X) dans Z x ( X )
est linéaire, et l'image de S ( X ) (resp. Y+(X)) est XYX) (resp.
-x"+(X)>.
La linéarité est immédiate. 11 est clair que fX O pour
f 2 O. Il suffit alors d'appliquer le lemme suivant :
Lemme 1. - Soient K une partie compacte de X, u une fonction de X+(X), avec u(x) > O pour x E K. Soit g E F ( X ) telle
que Supp g c KH.