3 2. Quotient d'un espace par un groupe ; espaces homogènes.
1. Résultats généraux.
Soit X un espace localement compact dans lequel un
groupe localement compact H opère à droite, continûment et
proprement, par (x, E) - x[ (x E X , t E H ) . La relation d'équivalence définie par H dans X est ouverte ( T o p . Gén., chap. I I I ,
3e éd., 5 2, no 4 , lemme 2) et X/H est séparé (loc. cit., 5 4, no 2,
prop. 3) donc localement compact ( T o p . Gén., chap. 1, 3 e éd.,
5 10, no 4 , prop. 10). On notera x I'application canonique de
X sur X/H. Le saturé d'une partie Y de X est YH = x-l(x(Y)).
Si K est une partie compacte de X, x(K) est compact, et le
saturé x-l(sc(K)) est fermé dans X . Toute partie compacte de
X/H est l'image par x d'une partie compacte de X ( T o p . Gén.,
chap. 1, 3 e éd., 5 10, no 4, prop. 10). O n suppose donnée une fois
pour toutes une mesure de I-iaar à gauche P sur H .
Soit x une représentation continue de H dans RT. Si une
fonction g sur X satisfait a g(x5) = ~(E)g(x) quels que
soient x E X et % E FI, son support S est invariant par 1 3
et s'écrit donc n-l(x(S)). On désignera par Xx(X) l'espace de
Riesz formé des fonctions numériques continues g sur X qui
satisfont à g(x6) = X(E)g(x) (x E X , 6 E H ) , et dont le support est le saturé d'une partie compacte de X ; on notera
d'"%(X) l'ensemble des éléments 2 O de Xx(X). E n particulier, T1(X) n'est autre que l'ensemble des fonctions continues
sur X, constantes sur les orbites, et dont le support est le saturé
d'une partie compacte.
PROPOSITION 1. - Soit f une fonction numérique continue
sur X dont le supporf S ait une intersecfion compacte avec le
saturé de toute partie compacte de X .
a) Pour tout x E X , la fonction 6 -./(XE) sur H appartient
à X(H) ; o n pose