38
INTÉGRATION
chap. VII, 5 1
PROPOSITION 17. - Supposons que A soit un corps (localement compact). Pour tout a E A, on a mod,(a) = mod,N,,,(a).
C'est une traduction de la première formule (38).
Exemples. - 1) Prenons K = R, A = C. Compte tenu
d'Alg., chap. VIII, 12, no 2, prop. 4, on obtient modc(z) = 1zI2
pour tout z E C.
2) Prenons K = R, et pour A le corps des quaternions
H (Top. Gén., chap. VIII, 3 e éd., 5 1, no 4). Considérons les
éléments suivants de M2(C) :
qui, avec 1,, forment une base de M,(C) sur êr. On vérifie
aisément que
x: = x; = X i = - 1,, X,X2 = - X2X1 = x 3 ,
X2X3 = - X3X2 = Xi, X3Xl = - X1X3 = X2.
Donc l'application a -t bi + cj + dk - a12 + bXl + cX2 + dX3
se prolonge en un C-isomorphisme de l'algèbre C @R H sur
l'algèbre Ml2(@). Comme [H : RI = 4, C est un corps neutralisant de H, et la norme réduite de q = a + bi $- cj + dk E H est
= det( a i- id - +, ib) = ,y + b2 + cl + d 2 = 119112.
c + i b
a - r d
D'après Alg., chap. VIII, § 12, no 3, prop. 8, on a
Ceci posé, la prop. 17 montre que
Une étude plus approfondie de la structure des corps localement compacts sera faite en AZg. comm., chap. VI, § 9.