I l . Algèbres de dimension $nie sur un corps localement
compact.
Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre de rang
fini à élément unité. Pour tout a E A, soient L a , R a les endomorphismes x -. ax, x - xa de l'espace vectoriel A, et soient
NAIK(a) E K, NAelK(a) E K les normes de a dans les représentations régulières de A et de l'algèbre opposée A0 ; rappelons
que NAIK(a) = det(La), NAoIK(a) = det(Ra). Les conditions suivantes sont équivalentes : a inversible, La inversible dans
Hom,(A,A), Ra inversible dans HomK(A,A), NAIK(a) # O,
NA./K(~) # O. Notons A* l'ensemble des éléments inversibles
de A.
Supposons maintenant le corps K localement compact,
donc l'algèbre A localement compacte. Alors NA/, et NA,,
sont des applications continues de A dans K, donc A* est
ouvert dans A. D'après le cor. 1 de la prop. 15 du no 10, on a
PROPOSITION 16. - Soit CC une mesure de Haar d u groupe
additif de A. Les mesures
sur A* sont des mesures de Haar respectivement à gauche et à
droite d u groupe multiplicatif A*.
E n effet, soit cr' la restriction de cc à l'ensemble ouvert A*.
Pour a E A*, on a L,(CC') = ( ~ o ~ ~ N ~ / ~ ( u ) ) - ~ M ' ,
donc
est une mesure de Haar A gauche sur A* (no 8, cor. 1 de la
prop. 10). Passant à l'algèbre opposée, on voit que
est une mesure de Haar à droite sur A*.