36
INT~GRATION
chap. VII, $ 1
mesure de Haar sur le groupe additif E telle que p(P) = 1. Soient
x,, . . . , xn des points de E, S l'enveloppe convexe fermée dans E
n
de l'ensemble {O, z,, . . ., xn). Si on pose xi = ui,e,, OR a
j-1
Nous identifierons E à Rn par l'isomorphisme qui transforme (e,) en la base canonique de Rn. Alors p s'identifie à la
mesure de Lebesgue pn sur Rn.
Supposons d'abord que xi = e, pour tout i. Alors S est
l'ensemble Sn des x = (ci) E Rn tels que
Ed 2 0 pour tout i et El -t . . . + tn L 1.
Posons pn(Sn) = a,. Soit A E R. Identifiant Rn à Rn-, x R,
on peut considérer la coupe Ch de Sn suivant h. Cette coupe
est vide si A < O ou h > 1 ; si O < h < 1, Ch est l'ensemble
des (El, . . ., En_,) E Rn-l tels que
donc se déduit de Sn-, par une homothétie de rapport 1 - A,
de sorte que pn-,(CA) = (1 - h)R-lan-l. D'après le théorème de
Lebesgue-Fubini,
1
Comme a, = 1, on voit que an = -
n! '
Revenons au cas général du corollaire. Soit u l'endomorphisme de Rn tel que u(eJ = xi pour tout i. On a u(S,) = S.
Si u est inversible, la prop. 15 prouve que
Comme S - S est contenu dans un nombre fini d'hyperplans,
on a P(S) = AS). Enfin, si u est non inversible, S est contenu
dans un hyperplan, de sorte que p(S) = O = det(u,,).