e t d'autre part mod, (det u,) = mod,(l) = 1, d'où le résultat
pour u,. On l'établit de manière analogue pour u , e t u,.
Soient K un corps localement compact commutatif, E un
espace vectoriel de dimension finie n sur K. Si cp est un isomorphisme de l'espace vectoriel Kn sur l'espace vectoriel E, cp
transforme la topologie de Kn en une topologie sur E qui fait
de E un espace vectoriel localement compact. Cette topologie
(dite canonique) est indépendante de cp puisque tout automorphisme de l'espace vectoriel Kn est bicontinu. Sauf menlion
du contraire, quand on parlera de E comme d'un espace vectoriel topologique, il s'agira toujours de la topologie qu'on vienl
de définir. Tout automorphisme u de l'espace vectoriel E est
bicontinu, donc mod, rr est défini. Par ailleurs, si u est lin
endomorphisme non inversible de E, on pose mod, rr = O. Alors :
COROLLAIRE 1. - Soient K u n corps localement compact
commutatif, E u n espace vectoriel de dimension finie sur K, et
u un endomorphisme de l'espace vectoriel E. O n a
mod,(u) = mod,(det u).
Si u est inversible, cela résulte de la prop. 15. Si u n'est
pas inversible, on a det u = O, donc mod,(det u ) = O = mod, u.
COROLLAIRE 2. - Soient E u n espace vectoriel réel de dimension finie n, (e,, e,, . . ., e,) une base de E , P l'ensemble des
n
s =
kiei E E tels que 0 , ( < 1 pour iout i, p l'unique
i-1