34
INTÉGRATION
chap. VII, $ 1
En effet, si b E K*, l'application a - b-la de K dans K
transforme sr en (mod, b)a, donc (mod,)-l.a en elle-même, d'où
la proposition.
COROLLAIRE. - Soit f une fonction définie dans K*, à
valeurs dans R ou dans un espace de Banach. Pour que f soit
@-intégrable, il faut et il sufit que (mod,)-Y soit a-intégrable,
Ceci résulte de la prop. 14, du cor. de la prop. 13, et du chap. V,
5 5, no 3, th. 1.
PROPOSITION 15. - Supposons K commutatif. Soit u un
automorphisme de l'espace vectoriel E = Kn. Alors
mod, u = rnod, (det u).
11 suffit de vérifier la formule lorsque u parcourt un système de générateurs de GE(E). Or GE(E) est engendré par les
éléments suivants (Alg., chap. II, 3e éd.,
10, no 13, cor. 2
de la prop. 14) :
(a) les éléments u, de la forme
(XI, , 9 5,)
+
(x,(I), . a , xo(n>),
où o E 6, ;
(b) les éléments u, de la forme
(XI, - . - 3 xn) + ( a x ~ , X2, - - - 3 xn)
avec a E K* ;
(c) les éléments u, de la forme
Si f E X(E), on a, en notant cc une mesure de Haar sur
K',