Les V, sont des voisinages fermés de O d'après la prop. 12.
Montrons qu'ils sont compacts. Soit U un voisinage compact
de O. Il existe un r # O dans K tel que mod(r) < 1 et rn E U
pour tout n > O : en effet, soit W un voisinage de O tel que
WU c U ; d'après la prop. 12, il existe un r # O dans K tel
que mod(r) < 1 et EU n W ; on a r 2 € W U c U , et r n E U
pour tout n > 0, par récurrence sur n. Nous allons montrer
que V, est contenu dans une réunion finie d'ensemble r-PU
(q entier > O), ce qui prouvera bien que les V, sont compacts.
Si x est une valeur d'adhérence de la suite (rn), mod(x) est valeur
d'adhérence de la suite (rnod(r)"), donc mod(x) = 0, x = 0 ;
comme U est compact, on en conclut (Top. Gén., chap. 1,
3 e éd., 9, no 1, cor. du th. 7) que lim rn = O. Soit alors a E VM.
n-t w
Comme la suite (ma),>, tend vers O, il existe un plus petit
entier n > O tel que rna E U. Si n > 0, on a rn-la gt U, donc
rna E U n C(~U) ; l'adhérence X de U n C(~U) est compacte
puisque U est compact, et ne contient pas O puisque rU est
un voisinage de 0 ; donc, dans X, mod x est minoré par un
nombre m > O. Donc, si n > O, on a m r mod(rna), d'où
mod(r-l)n L MIm. Comme niod(r-l) > 1, l'entier n n'est susceptible que d'un nombre fini de valeurs ne dépendant pas de a,
ce qui achève de prouver notre assertion.
Ceci étant, comme l'intersection des V, est réduite à {O),
les V, forment un système fondamental de voisinages de O
(Top. Gén., Chap. 1, 3 e éd., $ 9, no 2, prop. 1).
COROLLAIRE. - La topologie d'un corps localement compact
non discret admet une base dénombrable.
En effet, K est réunion des ensembles compacts VI, V,, . . ..
D'autre part, K est métrisable d'après la prop. 1 de Top. Gén.,
Chap. IX, 2 e éd., 3 3, no 1. Donc la topologie de K admet une
base dénombrable (loc. cit., 5 2, cor. de la prop. 16).
PROPOSITION 14. - Soit c i une mesure de Haar sur K+.
Alors la mesure P = (mod&l .cc sur K* est une mesure de
Haar a gauche sur le groupe nîultiplicatif K*.
BOURBAKI, XXIX
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