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INTÉGRATION
chap. VI& 9 1
Appliquant la prop. 11 à GO, on voit que les mesures quasiinvariantes à droite sont identiques aux mesures quasi-invariantes à gauche. On les appelle simplement mesures quasiinvariantes sur G.
10. Corps localement compacts.
DEFINITION 6. - Soit K un corps Zocalement compact. Pour
a E K*, on appelle module de a, et on note mod,(a) ou simptement mod(a), le module de l'automorphisme x - ax du groupe
additif K + sous-jacent à K ; on pose mod(0) = 0.
Exemples. - 1) Soit K = R. Si s > O, on a S . (O, 1) = [O, s) ;
sis<(), on a s . ( O , l ) = (s,o). DoncmodRf= ltl ~ o u ~ ~ o u ~ ~ E R
2) Soit K = Q, . Si s E Q$ est tel que 1 . ~ 1 ~
= p-., alors
sZ, est l'ensemble des x E Q, teIs que lxlp 4 p-n ; donc, si on
désigne par p la mesure de Haar normalisée sur Q,, on a
Donc modQ, t = If], pour tout t E Q,.
PROPOSITION 12. - La fonction mod est continue dans K,
et on a mod(ab) = mod(a)mod(b) quels que soient a, b dans K.
La dernière relation est évidente. La prop. 4 du no 4
montre que la fonction mod est continue en tout point de K*.
Il ne reste qu'a démontrer sa continuité en O. Celle-ci est évidente pour K discret; nous supposerons donc K non discret.
Soient a une mesure de Haar sur K + et C une partie compacte
de K telle que cc(C) > O ; pour a E K*, on a a(aC) = mod(a)u(C).
Comme K n'est pas discret, on a ~((0)) = O (no 2, prop. 2) ;
pour tout E > O, il existe donc un voisinage ouvert U de O
tel que a(U) L E. Comme le produit dans K est continu, on a
aC c U pour a assez voisin de O, et alors mod(a) 4 E/u(C).
PROPOSITION 13. - Pour tout M > O, soit V, l'ensemble
des x E K fels que mod(x) 4 M. Si K est non discret, les V,
formeni un système fondamental de voisinages compacts de O dans K.