v # O sur G soit quasi-invariante à gauche, il faut et il suffit
que v soit équivalente d p.
La suffisance est évidente. Soit v # O une mesure quasiinvariante à gauche, et montrons que v est équivalente à y.
On peut se borner au cas où v > O. Soit A une partie compacte
de G. On va montrer, ce qui établira la proposition, que les
conditions p(A) = O, v(A) = O sont équivalentes (chap. V,
5 5, no 5, Remarque).
a) Pour toute f E X+(G), la fonction (x, y) - f(x) G x G est (v @ p)-intégrable, car elle est semi-continue supérieurement, bornée, et son support est contenu dans l'ensemble
compact K x K-'A si l'on pose I< = Supp f. On a donc, par le
théorème de Lebesgue-Fubini
b) Supposons v(A) = O. Par hypothèse, v(xA) = O pour
tout x E G, donc le second membre de (36) est nul. Il existe
donc un ensemble v-négligeable N, tel que, pour y & N,, on ait
Soit B une partie compacte de G telle que v(B) # O, et prenons
pour f une fonction de Y+(G) égale à 1 sur AB-l. 11 existe alors
un y E B tel que (37) soit vérifié. Mais comme
pour y E B, cela prouve que p(A) = 0.
c) Supposons p(A) = O. Alors, pour toute f E Z+(G), le
premier membre de (36) est nul, donc aussi le second. Par suite,
il existe un ensemble M localement y-négligeable tel que
pour x 4 M. Comme p # O, on en conclut que v(xA) = O pour
certains x E G, d'où v(A) = O.