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INTÉGRATION
chap. VII, $ 1
o ù a E C* et où x est une représentation continue de G dans C* ;
son multiplicateur est alors X.
La condition est suffisante (prop. 10). D'autre part, si v
est une mesure non nulle relativement invariante à gauche de
multiplicateur X, ~ - l
.v est invariante à gauche (prop. IO), donc
de la forme a p avec a E C* (no 2, cor. du th. 1).
COROLLAIRE 2. - Toute mesure relativemeni invariante b
gauche est relativement invariante à droite.
En effet, avec les notations du cor. 1, on a
E n raison du cor. 2, on parlera désormais de mesures relafivement invariantes sur G, sans préciser. Les mesures relativement invariantes admettent comme cas particuliers les mesures
de Haar à gauche et les mesures de Haar a droite. Etant donnée
une mesure relativement invariante v sur G, il convient de distinguer son multiplicateur à gauche x et son multiplicateur a
droite X' définis par y(s)v = x(s)-lv, S(s)v = yif(s)v. D'après (34)'
on a entre ces multiplicateurs la relation
Notant toujours y une mesure de Haar à gauche, on a
donc Y est relativement invariante de multiplicateur à gauche
x-lAcl, de multiplicateur à droite ~ - l .
Les notions de fonctions négligeables, localement négligeables, mesurables, localement intégrables sont les mêmes
vis-à-vis de toute mesure relativement invariante.
9. Mesures quasi-invariantes.
PROPOSITION 11. - Soient G u n groupe localement compact,
p une mesurc de Haar à yuuche sur G. Pour qu'une mesure