Soient cc' une mesure de Haar a gauche sur G', et cc;, sa restriction à V'. Alors rp(cr&) est la restriction à V d'une mesure de
Haar à gauche unique cc sur G.
Soit V, un voisinage ouvert de e dans G tel que V,V;l c V.
Soit p la restriction de
s = cp(sl) avec un s' E VI. Soit x E U. On a x = cp(xl) avec un
x' E VI, donc sx = cp(s')cp(xt) = cp(slx') puisque sx E SU c V.
Comme les translations a gauche dans G' conservent a', on voit
que V, e t p satisfont aux conditions de la prop. 9. Soit o: la
mesure de 1-Iaar à gauche sur G induisant p sur V,. Pour tout
t E V, il existe un voisinage ouvert W de e dans V, tel que
tW c V. Alors la restriction de cp(a+,) à tW se déduit par translation de la restriction de p a W, donc est la restriction de u
tW. Donc cp(a$p) est la restriction de u à V.
On dit que a se déduit de cc' par l'isomorphisme local cp.
Exemple. - La mesure de Haar sur T obtenue au no 2,
Exemple 3, peut se déduire de la mesure de Lebesgue de R
par un isomorphisme local de R à T.
8. Mesures relativement invariantes.
PROPOSITION 10. - Soient G un groupe localement compact,
p une mesure relativement invariante à gauche de multiplicateur
x sur G. Si xi est une représentation continue de G dans C*,
la mesure x,. y est relativement invariante à gauche de multiplicateur xix.
En effet,
COROLLAIRE 1. - Soif p une mesure de Haar a gauche sur
G. Pour qu'une mesure non nulle v sur G soif relativement invariante Cr gauche, il fard et il suffrt qu'elle soit de la forme ax. p,
Haar à gauche unique cc sur G.
Soit V, un voisinage ouvert de e dans G tel que V,V;l c V.
Soit p la restriction de
s = cp(sl) avec un s' E VI. Soit x E U. On a x = cp(xl) avec un
x' E VI, donc sx = cp(s')cp(xt) = cp(slx') puisque sx E SU c V.
Comme les translations a gauche dans G' conservent a', on voit
que V, e t p satisfont aux conditions de la prop. 9. Soit o: la
mesure de 1-Iaar à gauche sur G induisant p sur V,. Pour tout
t E V, il existe un voisinage ouvert W de e dans V, tel que
tW c V. Alors la restriction de cp(a+,) à tW se déduit par translation de la restriction de p a W, donc est la restriction de u
tW. Donc cp(a$p) est la restriction de u à V.
On dit que a se déduit de cc' par l'isomorphisme local cp.
Exemple. - La mesure de Haar sur T obtenue au no 2,
Exemple 3, peut se déduire de la mesure de Lebesgue de R
par un isomorphisme local de R à T.
8. Mesures relativement invariantes.
PROPOSITION 10. - Soient G un groupe localement compact,
p une mesure relativement invariante à gauche de multiplicateur
x sur G. Si xi est une représentation continue de G dans C*,
la mesure x,. y est relativement invariante à gauche de multiplicateur xix.
En effet,
COROLLAIRE 1. - Soif p une mesure de Haar a gauche sur
G. Pour qu'une mesure non nulle v sur G soif relativement invariante Cr gauche, il fard et il suffrt qu'elle soit de la forme ax. p,