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INTÉGRATION
chap. VII, 5 1
brable (Top. Gén., Chap. I X , 2 e éd., 3 2, no 9, cor. de la prop.
16). Le groupe additif Q , s'identifie à la limite projective des
groupes discrets Q,/pnZ, .
Il existe sur le groupe additif Q, une mesure de Haar a
et une seule telle que or(Z,) = 1 ; celle-ci est dite la mesure de
Haar normalisée sur Q,. Comme Z , est réunion de pn classes
disjointes suivant pnZ, (n entier O), on a or(pnZ,) = p-n ; de
même, a@-"Z,) = pn, de sorte que finalement a(pnZ,) = p-n
pour tout n E 2. D'après la prop. 8 b), a est la seule mesure
positive sur Q , telle que toute classe suivant pnZ, (n entier O)
soit de mesure p-a.
La restriction de or à Z, est évidemment une mesure de
Haar sur 2,.
7. Dé$nition locale d'une mesure de Haar.
PROPOSITION 9. - Soient G u n groupe localement compact,
V une partie ouverte de G, p une mesure positive non nulle sur V ,
ayant la propriété suivante : si U est une partie ouverte de V et
si s E G est tel que SU c V , l'image de la mesure pu, induite par
p sur U , par l'homéomorphisme x - s x de U sur SU, est pSu.
Alors il existe sur G une mesure de Haar a gauche a et une seule
induisant y sur V .
Pour tout s E G, soit p, l'image de p par l'homéomorphisme
x - s x de V sur SV. La restriction de p, a V n SV est l'image
de p,-,v,v par la restriction de x - s x à s-lV n V ; par hypothèse, cette image est pvnSv. Par translation, on en conclut
que ps et p, ont même restriction à SV n tV quels que soient s,
1. D'après la prop. 1 du chap. I I I , § 3 , no 1, il existe donc une
mesure or sur G induisant p, sur SV quel que soit S . Il est clair
que a est l'unique mesure de Haar a gauche sur G induisant y
sur V.
COROLLAIRE. - Soient G, G' deux groupes localement
compacts, V (resp. V ' ) u n voisinage ouvert de l'élément neutre
de G (resp. G'), cp u n isomorphisme local de G' à G (Top. Gén.,
chap. I I I , 3 1, no 3, déf. 2) défini dans V', tel que cp(V') = V .