pour n., y dans Q (loc. cil.), donc pour x , y dans Q, ; en outre,
si l y J v < Ixl,, 011 a lx + y / , = lx/,, car
Si (2,) est une suite de points de Q, tendant vers x E QP, on
a IX - xnl, < 1x1, et lx - xnIv < ]xnl, pour n assez grand,
donc
= lxn(, . Ceci prouve que, pour tout x E O,*, (XI, est
une puissance de p.
Soit Z , l'adhérence de Z dans Q, ; c'est un sous-anneau
de Q, ; ses éléments s'appellent entiers p-adiques. On a l x / , r 1
pour tout x E Z,. Réciproquement, soit x un élément de Q,
tel que lx]?, 4 1, et montrons que x E Z , ; il existe une suite
(x,) d'éléments de Q tendant vers x, et lxnIv L 1 pour n assez
grand d'après ce qu'on a vu plus haut ; il suffit de montrer que
n., appartient à Z , pour n assez grand ; autrement dit, nous
sommes ramenés au cas où x E Q ; alors x = a / b avec b étranger à p ; pour tout entier n > O, il existe b; E Z e t h, E Z tels
abbk + ah,pn
que bbk + h,,pn = 1 , d'où x =
-
ah,pn
- ab' +
b
n
b
c t IX -
6 p-", donc ab; tend vers x.
Il résulte de 1ii que la boule fermée de centre O et de rayon
IF, identique à la boule ouverte de centre O e t de rayon p-"fl,
est. pnZ,. L'espace topologique Q, est donc éparpillé e t par
suite totalement discontinu ( T o p . Gin., Chap. I X , 2 e éd., 5 6,
no 4).
Montrons que les entiers O, 1, . . . , pn - 1 constituent un
système de représentants de Z , modulo pnZv. D'abord, on a
lic - Ic'l, > p-" pour deux tels entiers k et k', donc les classes
modulo pnZv de ces entiers sont distinctes. D'autre part, soit
x E Z, ; il existe un k G Z tel que lx - kI, & p-. ; en ajoutant
: i k un multiple de pn, on peut supposer que k E [O, pn - l),
e t 5 cst congru à k modulo pnZ,. D'où notre assertion. Ceci
montre que Z,/pnZv est canoniquement isomorphe a ZlpnZ.
On voit en outre que 2, est précompacl, donc compact puisqu'il
est complet. Comme Z, cst un sous-groupe ouvert de Q,, Q,
est localement compact. La topologie de Q , est à base dénom-
si l y J v < Ixl,, 011 a lx + y / , = lx/,, car
Si (2,) est une suite de points de Q, tendant vers x E QP, on
a IX - xnl, < 1x1, et lx - xnIv < ]xnl, pour n assez grand,
donc
= lxn(, . Ceci prouve que, pour tout x E O,*, (XI, est
une puissance de p.
Soit Z , l'adhérence de Z dans Q, ; c'est un sous-anneau
de Q, ; ses éléments s'appellent entiers p-adiques. On a l x / , r 1
pour tout x E Z,. Réciproquement, soit x un élément de Q,
tel que lx]?, 4 1, et montrons que x E Z , ; il existe une suite
(x,) d'éléments de Q tendant vers x, et lxnIv L 1 pour n assez
grand d'après ce qu'on a vu plus haut ; il suffit de montrer que
n., appartient à Z , pour n assez grand ; autrement dit, nous
sommes ramenés au cas où x E Q ; alors x = a / b avec b étranger à p ; pour tout entier n > O, il existe b; E Z e t h, E Z tels
abbk + ah,pn
que bbk + h,,pn = 1 , d'où x =
-
ah,pn
- ab' +
b
n
b
c t IX -
6 p-", donc ab; tend vers x.
Il résulte de 1ii que la boule fermée de centre O et de rayon
IF, identique à la boule ouverte de centre O e t de rayon p-"fl,
est. pnZ,. L'espace topologique Q, est donc éparpillé e t par
suite totalement discontinu ( T o p . Gin., Chap. I X , 2 e éd., 5 6,
no 4).
Montrons que les entiers O, 1, . . . , pn - 1 constituent un
système de représentants de Z , modulo pnZv. D'abord, on a
lic - Ic'l, > p-" pour deux tels entiers k et k', donc les classes
modulo pnZv de ces entiers sont distinctes. D'autre part, soit
x E Z, ; il existe un k G Z tel que lx - kI, & p-. ; en ajoutant
: i k un multiple de pn, on peut supposer que k E [O, pn - l),
e t 5 cst congru à k modulo pnZ,. D'où notre assertion. Ceci
montre que Z,/pnZv est canoniquement isomorphe a ZlpnZ.
On voit en outre que 2, est précompacl, donc compact puisqu'il
est complet. Comme Z, cst un sous-groupe ouvert de Q,, Q,
est localement compact. La topologie de Q , est à base dénom-