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INTEGRATION
chap. VII, 9 1
donc ~ a ( y ( s ) p )
= ~ ( < p ~ ( ~ ) ) p . ~
= Pa. Donc y(s)p. = y d'aprés le
lemme 2 b), de sorte que p. est une mesure de Haar à gauche.
On suppose désormais les K a , non seulement compacts,
mais ouverts dans G. Alors les Ga sont discrets, e t K a / K B est,
pour 2 a, un groupe compact et discret, donc fini. Le groupe G
est unimodulaire (prop. 3).
PROPOSITION 8. - a) Soient p et p' deux mesures positives sur G telles que, pour tout a et toute classe C suiuant K a ,
on ait p(C) = pl(C). Alors p = y'.
b) Fixons un a, E A. Pour fout a >a,, soit nu le nombre
d'éléments du groupe fini Ka,/K,. Il existe sur G une mesure
positive p et une seule telle que, pour tout a E A, chaque classe
suivant K, soit de mesure n;l. E n outre, p est une mesure de
H a m sur G, telle que p(Ka,) = 1.
Soient p et p. ' deux mesures positives sur G vérifiant la
condition de a). Alors les points du groupe discret Gu ont même
mesure pour ya(p.) et
Prouvons b). Pour tout a 2 a,, soit p., la mesure de Haar
du groupe discret Gu telle que chaque point soit de mesure
n;l. Soient GC, p tels que GC 2 p 3 a,. Alors K p / K , a nu/np éléments. Donc yBa(pu) est la mesure sur GD telle que chaque
n
point ait pour mesure na1.> = ne1 ; autrement dit,
n L - 5
Il suffit alors d'appliquer les prop. 6 et 7.
Exemple. - Soit Q, le corps p-adique, complété de Q
pour la valeur absolue p-adique
= ~ - U . ( X )
(Top. Gén.,
chap. I X , 2e éd., $ 3, no 2). Les éléments de Q, s'appellent
nombres p-adiques. Nous noterons encore IxlD le prolongement
continu à Q, de la valeur absolue p-adique. On a
lx + 4 SUP (IxIP, IYIJ
INTEGRATION
chap. VII, 9 1
donc ~ a ( y ( s ) p )
= ~ ( < p ~ ( ~ ) ) p . ~
= Pa. Donc y(s)p. = y d'aprés le
lemme 2 b), de sorte que p. est une mesure de Haar à gauche.
On suppose désormais les K a , non seulement compacts,
mais ouverts dans G. Alors les Ga sont discrets, e t K a / K B est,
pour 2 a, un groupe compact et discret, donc fini. Le groupe G
est unimodulaire (prop. 3).
PROPOSITION 8. - a) Soient p et p' deux mesures positives sur G telles que, pour tout a et toute classe C suiuant K a ,
on ait p(C) = pl(C). Alors p = y'.
b) Fixons un a, E A. Pour fout a >a,, soit nu le nombre
d'éléments du groupe fini Ka,/K,. Il existe sur G une mesure
positive p et une seule telle que, pour tout a E A, chaque classe
suivant K, soit de mesure n;l. E n outre, p est une mesure de
H a m sur G, telle que p(Ka,) = 1.
Soient p et p. ' deux mesures positives sur G vérifiant la
condition de a). Alors les points du groupe discret Gu ont même
mesure pour ya(p.) et
Prouvons b). Pour tout a 2 a,, soit p., la mesure de Haar
du groupe discret Gu telle que chaque point soit de mesure
n;l. Soient GC, p tels que GC 2 p 3 a,. Alors K p / K , a nu/np éléments. Donc yBa(pu) est la mesure sur GD telle que chaque
n
point ait pour mesure na1.> = ne1 ; autrement dit,
n L - 5
Il suffit alors d'appliquer les prop. 6 et 7.
Exemple. - Soit Q, le corps p-adique, complété de Q
pour la valeur absolue p-adique
= ~ - U . ( X )
(Top. Gén.,
chap. I X , 2e éd., $ 3, no 2). Les éléments de Q, s'appellent
nombres p-adiques. Nous noterons encore IxlD le prolongement
continu à Q, de la valeur absolue p-adique. On a
lx + 4 SUP (IxIP, IYIJ