Soient maintenant p, p' deux mesures sur G telles que
y,&) = rpa(pf) pour tout u E A. Soit v E X ( G ) une fonction
constante sur les classes suivant K u pour un cc E A, de sorte
qu'on peut écrire u = w O cp, avec w E X(G,) ; on a alors
p(0) = (ya(p)}(w) = ( p = p' en vertu de a).
PROPOSITION 6. - Pour tout u E A, soit p, une mesure
posifiue sur Gu. On suppose que ypa(pa) = pP pour a 2 p. Il
existe alors une mesure positive p sur G et une seule telle que
rp&) = p. pour tout cc E A.
L'unicité résulte aussitôt du lemme 2 b). Prouvons I'existence de p. Soit V l'espace vectoriel des fonctions appartenant
à Z ( G ) et constantes sur les classes suivant un K u . D'apres
le lemme 2 a), V est un sous-espace vectoriel positivement
riche (chap. III,
2, no 5) de Y ( G ) . Soit f E V. Il existe un
cc E A tel que f soit constante sur les classes suivant K,. Par
passage au quotient, f définit une fonction fa E X(G,). Le
nombre p ( f ) = pa(fa) ne dépend pas du choix de cc ; car soit P
un indice tel que f soit constante sur les classes suivant Kp ;
soit y E A tel que y 3 U, y >, p ; alors f définit des fonctions
f P E Y ( G p ) , f y E X ( G y ) telles que f = f p O cpp = f y O y, ; on a
f a 0 py(fy) = pp(fa), d'où notre assertion. Ceci posé, il est clair que
p est une forme linéaire sur V et que p(f) 2 O pour f O.
D'après la prop. 2 du chap. III, 9 2, no 5 , p se prolonge en une
mesure positive, que nous noterons encore p, sur G. On a
y a ( p ) = pu pour tout cc E A par construction même de y.
DÉFINITION 5. - On dit que p est la limite projeclive des y,.
PROPOSITION 7. - On conserve les notations de la prop. 6.
Si chaque pu es1 une mesure de Haar a gauche (resp. a droite)
sur Gu, alors p est une mesure de Haar ù gauche (resp. à droite)
sur G.
Supposons par exemple que les p, soient des mesures de
Haar à gauche. Soit s E G. On a, pour tout x E G,