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INTEGRATION
chap. VII, § 1
limite projective dans Gu s'identifie a cpa (Top. Gén., chap. III,
3e éd., § 7, no 3, prop. 2). Les applications cp, et rppa sont propres
(loc. cit., $ 4, no 1, cor. 2 de la prop. 1). Ces données resteront
fixées dans tout ce no.
Lemme 2. - a) Soient f E X+(G), S une partie compacte
de G contenant Supp f, U un voisinage ouvert de S dans G, et
E > O. I l existe un a E A et une fonction g E X,(G), nulle hors
de U, constante sur les classes suivant K a , telle que If - gJ 4 E.
b) Soient p et p' deux mesures sur G telles que y&.) = ya(pl)
pour tout a E A. Alors p = p'.
Il existe un a, E A tel que Ku, S fl Ka, (G - U) = JZ
(Top. Gén., chap. II, 3 e éd., 4, no 3, prop. 4). E n augmentant
S et en diminuant U, on peut donc supposer que S et U sont
des réunions de classes suivant Ku,. Considérons les fonctions
numériques continues h sur S qui possèdent la propriété suivante : il existe a > cc, tel que h soit constante sur les classes
suivant K a . Ces fonctions forment une sous-algèbre de S ( S )
(parce que la famille (Ka) est filtrante décroissante) qui contient
les constantes et qui sépare les points de S : en effet, soient
x, y deux points distincts de S ; comme l'intersection des K,
est (e), il existe a 2 a, tel que rp,(x) # rp,(y), puis une fonction
numérique u continue dans cp,(S), telle que u(cpa(x)) sf u(cpa(!))).
D'après le th. de Weierstrass-Stone, il existe un a 2 a, et une
fonction h 2 O continue dans S, constante sur les classes suiE
vant K u , et telle que If - h] < ci dans S. Pour tout t E R, poY
, et posons h' = 6 O h. Alors h' est une fonction > O, continue dans S, constante sur les classes suivant
K., et l'on a Ih - h'l g f dans S, donc If - h'l < r dans S.
2
D'autre part, on a h'(z) = O si x appartient à la frontière de
S dans G, car alors h(x) : ) :
. Si on prolonge h' par O dans le
2
complémentaire de S, on obtient une fonction g qui répond
la question, ce qui prouve a).
INTEGRATION
chap. VII, § 1
limite projective dans Gu s'identifie a cpa (Top. Gén., chap. III,
3e éd., § 7, no 3, prop. 2). Les applications cp, et rppa sont propres
(loc. cit., $ 4, no 1, cor. 2 de la prop. 1). Ces données resteront
fixées dans tout ce no.
Lemme 2. - a) Soient f E X+(G), S une partie compacte
de G contenant Supp f, U un voisinage ouvert de S dans G, et
E > O. I l existe un a E A et une fonction g E X,(G), nulle hors
de U, constante sur les classes suivant K a , telle que If - gJ 4 E.
b) Soient p et p' deux mesures sur G telles que y&.) = ya(pl)
pour tout a E A. Alors p = p'.
Il existe un a, E A tel que Ku, S fl Ka, (G - U) = JZ
(Top. Gén., chap. II, 3 e éd., 4, no 3, prop. 4). E n augmentant
S et en diminuant U, on peut donc supposer que S et U sont
des réunions de classes suivant Ku,. Considérons les fonctions
numériques continues h sur S qui possèdent la propriété suivante : il existe a > cc, tel que h soit constante sur les classes
suivant K a . Ces fonctions forment une sous-algèbre de S ( S )
(parce que la famille (Ka) est filtrante décroissante) qui contient
les constantes et qui sépare les points de S : en effet, soient
x, y deux points distincts de S ; comme l'intersection des K,
est (e), il existe a 2 a, tel que rp,(x) # rp,(y), puis une fonction
numérique u continue dans cp,(S), telle que u(cpa(x)) sf u(cpa(!))).
D'après le th. de Weierstrass-Stone, il existe un a 2 a, et une
fonction h 2 O continue dans S, constante sur les classes suiE
vant K u , et telle que If - h] < ci dans S. Pour tout t E R, poY
, et posons h' = 6 O h. Alors h' est une fonction > O, continue dans S, constante sur les classes suivant
K., et l'on a Ih - h'l g f dans S, donc If - h'l < r dans S.
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D'autre part, on a h'(z) = O si x appartient à la frontière de
S dans G, car alors h(x) : ) :
. Si on prolonge h' par O dans le
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complémentaire de S, on obtient une fonction g qui répond
la question, ce qui prouve a).