Pour toute partie finie J de 1, @ pL est une mesure de Haar
r E J
à gauche (resp. à droite) sur II G,, comme il résulte aussitôt
r d
des définitions. Donc Qg pl est une mesure de Haar à gauche
LE 1
(resp. à droite) sur G (chap. III, 5 5 , no 5, prop. 6). D'autre
part, si les pl sont des mesures de Haar à gauche, on a
Exemples. - 1) La mesure de Lebesgue sur Rn est une
mesure de Haar du groupe additif Rn.
2) L'application (r, u) - ru est un isomorphisme de R$ x U
sur C* (Top. gén., chap. VIII, 5 1, no 3). Si on identifie C* A
RT x U par cet isomorphisme, et si on note du une mesure
de Haar de U, r-ldrdu est une mesure de Haar de C* d'après
l'exemple 2 du no 2. D'autre part, la bijection 8 + eZine de
(O, 1 ( sur U transforme la mesure de Lebesgue dB de (O, 1(
en une mesure de Haar sur U d'après l'exemple 3 du no 2.
Il en résulte que, si f E X(C*), l'intégrale
définit une mesure de Haar sur C*.
6. Mesure de Haar d'une limite projective.
Soit G un groupe localement compact (donc complet).
Soit (K,JasA une famille filtrante décroissante de sous-groupes
distingués compacts de G, d'intersection {e) (de sorte que la
base de filtre formée des K, converge vers e). Posons Ga = G/K, ;
soient cp, : G - G, et qe, : Ga - Gp (or p) les homomorphismes
canoniques. Alors la limite projective du système projectif
(Ga, qpa) s'identifie à G et I'application canonique de cette