chap. VII, 5 1
e t par suite
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mod i, = A*(s).
Si G est soit discret, soit compact, sa mesure de Haar
normalisée est transformée en elle-même par tout automorphisme cp de G , comme on le voit tout de suite par transport
de structure. Donc u n automorphisme d'un groupe discret ou
compact est de module 1.
PROPOSITION 4. - Soient G u n groupe localement compact,
I' un groupe topologique, et y - u, u n homomorphisme de r dans
le groupe 9 des automorphismes de Gy tel que (y, z) - LZ,(X) soit
une application continue de I ' x G dans G. Alors l'applicntion
y - mod(u,) est une représentation continue de P dans RT.
Cette application est évidemment une représentation (algébrique) de I ' dans R* ; il sufit de prouver sa continuité. Soient
f E X ( G ) et S son support. Soient y, E I' et U un voisinage
relativement compact de ucl(S). L'application y - LI, est une
application continue de P dans 9 muni de la topologie de la
convergence compacte ( T o p . Gén., chap. X , 2 e éd., 5 3, no 4,
th. 3) ; donc uyl(S) c U pour y assez voisin de y,. Le lemme 1
du no 1 prouve alors que f(u,(x))dp(x) (où p désigne une
S
mesure de Haar à gauche de G ) dépend continûment de y ;
d'où la proposition.
5. Mesure de Haar d'un produit.
PROPOSITION 5. - Soit (G,),EI une famille de groupes localement compacts. Pour tout L E 1, soit p, une mesure de Haar à
gauche (resp. à droite) sur G,. O n suppose qu'il existe une partie
finie J de 1 telte que, pour tout L E 1 - J , G , soit compact et
p (G,) = 1. Alors la mesure produit 8 y, est une mesure de Haar
Le1
à gauche (resp. à droite) sur G = Il[ G,. Si x = (x,) E Gy on a
LEI