ne concordent pas lorsque G est à la fois discret et compact,
c'est-à-dire fini ; quand on sera dans ce cas, on précisera toujours explicitement ce qu'on entend par mesure de Haar normalisée.
Un sous-groupe, un groupe quotient d'un groupe unimodu2 laire ne sont pas toujours unimodulaires (5 2, exerc. 5). Cf.,
toutefois, le 5 2, no 7, prop. 10.
*Nous verrons plus tard que les groupes de Lie connexes
semi-simples ou nilpotents sont unimodulaires*.
4. Module d'un automorphisme.
Soient G un groupe localement compact, cp un automorphisme de G, p une mesure de Haar à gauche sur G. Il est clair
que cp-l(p) est encore une mesure de Haar à gauche sur G. Il
existe donc (no 2, th. 1) un nombre a > O e t un seul tel que
?-l(p) = ap. D'après le no 2, th. 1, ce nombre est indépendant
du choix de p. Remarquons que, si l'on partait d'une mesure
de Haar à droite, par exemple Aal. p (no 3), on aboutirait au
même scalaire a : car, comme cp-l laisse A, invariant (no 3,
Remarque), on a y-l(Aal. p) = AGI. cp-l(p) = =Act1. p.
DEFINITION 4. - Le nombre a > O tel que y-l(p) = a p
s'appelle le module de l'automorphisme cp et se note mod,cp ou
simplement mod 9.
Si f est une fonction p-intégrable sur G, on a
Si A est une partie p-intégrable de G, on a
E n particulier, pour s E G, soit i, l'automorphisme intérieur x -t S-IXS. On a igl = S(s)y(s), donc