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INTEGRATION
chap. VII, § 1
3) v est proportionnelle A A-l. p, p est proportionnelle à
A.v.
4) Supposons G unimodulaire. Soit p une mesure de Haar
sur G. On a
Si f est p-intégrable sur Gy les translatées à gauche e t à
droite de f sont p-intégrables ainsi que et l'on a
Si A est une partie p-intégrable de G, SA, As e t A-l sont
p-intégrables, et
On a des propriétés analogues pour l'intégrale essentielle.
PROPOSITION 3. - S'il existe dans G un voisinage compact
V de e invariant par les automorphismes intérieurs, alors G est
unimodulaire.
E n effet, soit p une mesure de Haar à gauche sur G. On
a, pour tout s E G, p(V) = p(rlVs) = AG(s)~(V), d'où
AG(s) = 1
puisque O < y(V) < + cmOn en déduit aussitôt :
COROLLAIRE. - Si G est discret, ou compact, ou commutatif, G est unimodulaire.
Ceci est d'ailleurs trivial lorsque G est commutatif. Notons
aussi que, si G est discret, la mesure sur G pour laquelle chaque
point est de masse 1 est évidemment une mesure de Haar à
gauche et à droite sur Gy qu'on appelle mesure de Haar normalisée sur G. Si G est compact, il existe une mesure de Haar
p et une seule sur G telle que p(G) = 1 ; on l'appelle la mesure
de Haar normalisée de G. Les deux conventions précédentes