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INTÉGRATION
chap. VI1 et VI11
fonctions fl, gl égales respectivement A f et g pour t 2 O, et A
O pour t < 0.
Cependant, le formalisme algébrique développé par Volterra ne faisait pas apparaître les liens avec la structure de
groupe de R et la transformation de Fourier. Nous n'avons
pas A faire ici l'histoire de cette dernière ; mais il convient
de noter qu'A partir de Cauchy les analystes qui traitent de
l'intégrale de Fourier s'attachent surtout à trouver des conditions de plus en plus larges pour la validité des diverses formules d'« inversion », et négligent quelque peu ses propriétés
algébriques. On ne pourrait certes en dire autant des travaux
de Fourier lui-même (ou de ceux de Laplace sur l'intégrale
analogue
e-stf(t)dt) ; mais ces transformations avaient été
Io='
introduites essentiellement A propos de problèmes linéaires, et
il n'est donc pas très surprenant que l'on n'ait pas songé avant
longtemps à considérer le produit de deux transformées de
Fourier (exception faite des produits de séries trigonométriques
ou de séries entières, mais le lien avec la convolution des mesures
discrètes ne pouvait évidemment pas être aperçu au xlxe siècle).
La première mention de ce produit e-i de la convolution sur ai
se trouve probablement dans un mémoire de Tchebychef (VIII),
à propos de questions de calcul des probabilités. E n effet,
dans cette théorie, la convolution p + v de deux K lois de probabilité )) sur R (mesures positives de masse totale 1) n'est autre
que la loi de probabilité « composée 1) de p et v (pour l'addition
des (( variables aléatoires » correspondantes). Bien entendu,
chez Tchebychef, il n'est encore question que de convolution
de lois de probabilités ayant une densité (par rapport à la mesure
de Lebesgue), donc de convolution de fonctions ; elle n'intervient d'ailleurs chez lui que d'une façon épisodique, et il en
sera ainsi dans les quelques rares travaux OU elle apparaît
avant la période 1920-1930. E n 1920, P. J. Daniell, dans une
note peu remarquée (III), définit la convolution de deux mesures
quelconques sur R et la transformée de Fourier d'une telle
mesure, et observe explicitement que la transformation de
INTÉGRATION
chap. VI1 et VI11
fonctions fl, gl égales respectivement A f et g pour t 2 O, et A
O pour t < 0.
Cependant, le formalisme algébrique développé par Volterra ne faisait pas apparaître les liens avec la structure de
groupe de R et la transformation de Fourier. Nous n'avons
pas A faire ici l'histoire de cette dernière ; mais il convient
de noter qu'A partir de Cauchy les analystes qui traitent de
l'intégrale de Fourier s'attachent surtout à trouver des conditions de plus en plus larges pour la validité des diverses formules d'« inversion », et négligent quelque peu ses propriétés
algébriques. On ne pourrait certes en dire autant des travaux
de Fourier lui-même (ou de ceux de Laplace sur l'intégrale
analogue
e-stf(t)dt) ; mais ces transformations avaient été
Io='
introduites essentiellement A propos de problèmes linéaires, et
il n'est donc pas très surprenant que l'on n'ait pas songé avant
longtemps à considérer le produit de deux transformées de
Fourier (exception faite des produits de séries trigonométriques
ou de séries entières, mais le lien avec la convolution des mesures
discrètes ne pouvait évidemment pas être aperçu au xlxe siècle).
La première mention de ce produit e-i de la convolution sur ai
se trouve probablement dans un mémoire de Tchebychef (VIII),
à propos de questions de calcul des probabilités. E n effet,
dans cette théorie, la convolution p + v de deux K lois de probabilité )) sur R (mesures positives de masse totale 1) n'est autre
que la loi de probabilité « composée 1) de p et v (pour l'addition
des (( variables aléatoires » correspondantes). Bien entendu,
chez Tchebychef, il n'est encore question que de convolution
de lois de probabilités ayant une densité (par rapport à la mesure
de Lebesgue), donc de convolution de fonctions ; elle n'intervient d'ailleurs chez lui que d'une façon épisodique, et il en
sera ainsi dans les quelques rares travaux OU elle apparaît
avant la période 1920-1930. E n 1920, P. J. Daniell, dans une
note peu remarquée (III), définit la convolution de deux mesures
quelconques sur R et la transformée de Fourier d'une telle
mesure, et observe explicitement que la transformation de