NOTE HISTORIQUE
213
+ m, donne le premier exemple de (( régularisation n f - p, * f
sur le tore T (à vrai dire par une suite de (( noyaux 1) p, non
positifs, ce qui en complique singulièrement l'étude) ; sous le
nom d' cc intégrales singulières », les expressions intégrales analogues seront un sujet de prédilection des analystes de la fin du
xlxe siècle et du début du xxe siècle, de P. du Bois-Reymond
à H. Lebesgue. Sur HP, Weierstrass utilise l'intégrale (1) pour
la démonstration de son théorème d'approximation par les
polynômes, et donne à ce propos le principe général de la régularisation par une suite de (( noyaux » positifs p, de la forme
x - c,p(x/n). Sur T, le plus célèbre exemple d'une régularisation
par noyaux positifs est donné un peu plus tard par Fejér, et
a partir de ce moment, c'est le procédé standard qui sera à la
base de la plupart des (( méthodes de sommation )) des séries
de fonctions.
Toutefois, ces travaux, en raison de la dissymétrie des
rôles qu'y jouent le (( noyau » et la fonction régularisée, ne faisaient guère apparaître les propriétés algébriques du produit
de convolution. C'est à Volterra surtout que l'on doit d'avoir
mis l'accent sur ce point. II étudie de façon générale la « composition » F * G de deux fonctions de deux variables
qu'il envisage comme une généralisation, par (( passage du fini
a l'infini 11, du produit de deux matrices (IX). Il distingue
très tôt le cas (dit « du cycle fermé » en raison de son interprétation dans la théorie de l'hérédité) où F et G ne dépendent
que de y - x ; il en est alors de même de 1-1 = F * G, et si l'on
pose F(z, y) = f(y - x), (3x9 y) = g(y - x), on a
de sorte que, pour t 2 O, h coïncide avec la convolution des
213
+ m, donne le premier exemple de (( régularisation n f - p, * f
sur le tore T (à vrai dire par une suite de (( noyaux 1) p, non
positifs, ce qui en complique singulièrement l'étude) ; sous le
nom d' cc intégrales singulières », les expressions intégrales analogues seront un sujet de prédilection des analystes de la fin du
xlxe siècle et du début du xxe siècle, de P. du Bois-Reymond
à H. Lebesgue. Sur HP, Weierstrass utilise l'intégrale (1) pour
la démonstration de son théorème d'approximation par les
polynômes, et donne à ce propos le principe général de la régularisation par une suite de (( noyaux » positifs p, de la forme
x - c,p(x/n). Sur T, le plus célèbre exemple d'une régularisation
par noyaux positifs est donné un peu plus tard par Fejér, et
a partir de ce moment, c'est le procédé standard qui sera à la
base de la plupart des (( méthodes de sommation )) des séries
de fonctions.
Toutefois, ces travaux, en raison de la dissymétrie des
rôles qu'y jouent le (( noyau » et la fonction régularisée, ne faisaient guère apparaître les propriétés algébriques du produit
de convolution. C'est à Volterra surtout que l'on doit d'avoir
mis l'accent sur ce point. II étudie de façon générale la « composition » F * G de deux fonctions de deux variables
qu'il envisage comme une généralisation, par (( passage du fini
a l'infini 11, du produit de deux matrices (IX). Il distingue
très tôt le cas (dit « du cycle fermé » en raison de son interprétation dans la théorie de l'hérédité) où F et G ne dépendent
que de y - x ; il en est alors de même de 1-1 = F * G, et si l'on
pose F(z, y) = f(y - x), (3x9 y) = g(y - x), on a
de sorte que, pour t 2 O, h coïncide avec la convolution des