NOTE HISTORIQUE
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Fourier fait passer de la convolution au produit ordinaire ;
formalisme qui, Ci partir de 1925, va être intensivement utilisé
par les probabilistes, à la suite de P. Lévy surtout. Mais I'importance fondamentale de la convolution en théorie des groupes
n'est reconnue pleinement que par H. Weyl en 1927 ; il s'aperçoit que, pour un groupe compact, la convolution des fonctions
joue le rôle de la multiplication dans l'algèbre d'un groupe
fini, e t lui permet par suite de définir la (( représentation régulière » ; en même temps, il trouve dans la régularisation l'équivalent de l'élément unité de l'algèbre d'un groupt. fini. Il restait
à faire la synthèse de tous ces points de vuc, qui a'accornplil
dans le livre de A. Weil (X), préludant aux ghéralisations
ultérieures quc cons.Litueront, d'une part les algèbres normées
de 1. Gelfand, e t de l'autre la convolution des distributions.
La mesure de Haar et la convolution sont rapidement
devenues des outils essentiels dans la tendance à l'algébrisation qui marque si fortement l'Analyse modcrne ; nous aurons
à en développer de nombreuses applicalioris dans des Livres
ultérieurs. La seule que nous ayons traitée dans ces chapitres
concerne la « variation » des sous-groupes fermés (et notamment
des sous-groupes discrets) d'un groupe localement compact. Cette
théorie, partant d'un résultat de K. Mahler cn Géométrie des
nombres, a été inaugurée en 1950 par C. Cliabauty, et vient
d'être considérablement développée et approfondie par Macbeath e t Swierczkowslti (VI), dont nous avons reproduit les
principaux résultats.