NOTE HISTORIQUE
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dorff avait prouvé, en 1914, qu'il n'existe pas de fonction d'ensemble additive non identiquement nulle définie pour tous lcs
sous-ensembles de R-t
invariante par déplacements, et il
était naturel de chercher si ce résultat était encore valable pour
R et R2: problème qui fut résolu par S. Banach en 1923 de
façon surprenante, en montrant au contraire que dans ces
deux cas une telle « mesure » existait bel et bien (1) ; son procédé, fort ingénieux, repose déjà sur une construction par induction transfinie et sur la considération des « moyennes »
1 "
- C f(x + a,) de translatées d'une fonction par des éléments
n k-1
du groupe (*). Ce sont des idées analogues qui permirent à
A. Haar, en 1933 (IV), de fa'ire le pas décisif, en prouvant
l'existence d'une mesure invariante pour les groupes localement
compacts à base dénombrable d'ouverts : s'inspirant de la
méthode d'approximation d'un volume, en Calcul intégral
classique, par une juxtaposition de cubes congruents de côté
arbitrairement petit, il obtient, à l'aide du procédé diagonal,
la mesure invariante comme limite d'une suite de « mesures
approchées », procédé qui est encore essentiellement celui que
nous avons utilisé au chap. VII, § 1. Cette découverte eut un
très grand retentissement, en particulier parce qu'elle permit
aussitôt à J. von Neumann de résoudre, pour les groupes compacts, le fameux (( 5e problème u de Hilbert sur la caractérisation des groupes de Lie par des propriétés purement topologiques (à l'exclusion de toute structure différentielle préalablement donnée). Mais on s'aperçut aussitôt que, pour pouvoir
utiliser la mesure invariante de façon efficace, il fallait non
seulement connaître son existence, mais encore savoir qu'ellc
était unique à un facteur près ; ce point fut d'abord démontré
par J. von Neumann pour les groupes compacts, en utilisant
une méthode de définition de la mesure de Haar par des
« moyennes » de fonctions continues, analogues à celles de
Banach (VIIJa)) ;ipuis J. von Neumann (VI1 b)) et A. Weil (X),
(*) J. von NEUMANN montra, en 1929, que la raison profonde de la diffbrence de
comportement entre R et RZ d'une part, et Ics Rn pour n > 3 de l'autre, devait &tre
cherchée dans la commutativité du groupe des rotations de l'espace RB.
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dorff avait prouvé, en 1914, qu'il n'existe pas de fonction d'ensemble additive non identiquement nulle définie pour tous lcs
sous-ensembles de R-t
invariante par déplacements, et il
était naturel de chercher si ce résultat était encore valable pour
R et R2: problème qui fut résolu par S. Banach en 1923 de
façon surprenante, en montrant au contraire que dans ces
deux cas une telle « mesure » existait bel et bien (1) ; son procédé, fort ingénieux, repose déjà sur une construction par induction transfinie et sur la considération des « moyennes »
1 "
- C f(x + a,) de translatées d'une fonction par des éléments
n k-1
du groupe (*). Ce sont des idées analogues qui permirent à
A. Haar, en 1933 (IV), de fa'ire le pas décisif, en prouvant
l'existence d'une mesure invariante pour les groupes localement
compacts à base dénombrable d'ouverts : s'inspirant de la
méthode d'approximation d'un volume, en Calcul intégral
classique, par une juxtaposition de cubes congruents de côté
arbitrairement petit, il obtient, à l'aide du procédé diagonal,
la mesure invariante comme limite d'une suite de « mesures
approchées », procédé qui est encore essentiellement celui que
nous avons utilisé au chap. VII, § 1. Cette découverte eut un
très grand retentissement, en particulier parce qu'elle permit
aussitôt à J. von Neumann de résoudre, pour les groupes compacts, le fameux (( 5e problème u de Hilbert sur la caractérisation des groupes de Lie par des propriétés purement topologiques (à l'exclusion de toute structure différentielle préalablement donnée). Mais on s'aperçut aussitôt que, pour pouvoir
utiliser la mesure invariante de façon efficace, il fallait non
seulement connaître son existence, mais encore savoir qu'ellc
était unique à un facteur près ; ce point fut d'abord démontré
par J. von Neumann pour les groupes compacts, en utilisant
une méthode de définition de la mesure de Haar par des
« moyennes » de fonctions continues, analogues à celles de
Banach (VIIJa)) ;ipuis J. von Neumann (VI1 b)) et A. Weil (X),
(*) J. von NEUMANN montra, en 1929, que la raison profonde de la diffbrence de
comportement entre R et RZ d'une part, et Ics Rn pour n > 3 de l'autre, devait &tre
cherchée dans la commutativité du groupe des rotations de l'espace RB.