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INTÉGRATION
chap. VI1 et VHII
sion de cette dernière à l'aide de la représentation paramétrique
par les angles d'Euler, mais observe aussitôt (indépendamment de E. Cartan) que les méthodes de Lie fournissent l'existence d'une mesure invariante pour tout groupe de Lie. Peutêtre à cause du déclin de la théorie des invariants au début du
xxe siècle, les idées de Hurwitz n'eurent guère d'écho immédiat,
et ne devaient être mises en valeur qu'à partir de 1924, avec
l'extension aux groupes de Lie compacts, par 1. Schur et
H. Weyl, de la théorie classique de Frobenius sur les représentations linéaires des groupes finis. Le premier se borne au cas
du groupe orthogonal, et montre comment la méthode de
Hurwitz permet d'étendre les classiques relations d'orthogonalité des caractères ; idée que H. Weyl combine avec les travaux
de E. Cartan sur les algèbres de Lie semi-simples pour obtenir
l'expression explicite des caractères des représentations irréductibles des groupes de Lie compacts et le théoréme de complète réductibilité (XI u)), puis, par une extension hardie de
la notion de (( représentation régulière », le célèbre théorème
de Peter-Weyl, analogue parfait de la décomposition de la
représentation réguliére en ses composantes irréductibles dans
la théorie des groupes finis (XI b)).
Un an auparavant, 0. Schreier avait fondé la théorie g h é -
rale des groupes topologiques, et dès ce moment il était clair
que les raisonnements du mémoire de Peter-Weyl devaient
rester valables tels quels pour tout groupe topologique sur lequel
on pourrait définir une '(( mesure invariante D. A vrai dire, les
notions générales sur la topologie et la mesure étaient encore
à cette époque en pleine formation, et ni la catégorie de groupes
topologiques sur lesquels on pouvait espérer définir une mesure
invariante, ni les ensembles pour lesquels cette (( mesure »
serait définie, ne semblaient clairement délimités. Le seul
point évident était qu'on ne pouvait espérer étendre au cas
général les méthodes infinitésimales prouvant l'existence d'une
mesure invariante sur un groupe de Lie. Or, un autre courant
d'idées, issu de travaux sur la mesure de Lebesgue, conduisait
précisé~nent à des méthodes d'attaque plus directes. Haus-
INTÉGRATION
chap. VI1 et VHII
sion de cette dernière à l'aide de la représentation paramétrique
par les angles d'Euler, mais observe aussitôt (indépendamment de E. Cartan) que les méthodes de Lie fournissent l'existence d'une mesure invariante pour tout groupe de Lie. Peutêtre à cause du déclin de la théorie des invariants au début du
xxe siècle, les idées de Hurwitz n'eurent guère d'écho immédiat,
et ne devaient être mises en valeur qu'à partir de 1924, avec
l'extension aux groupes de Lie compacts, par 1. Schur et
H. Weyl, de la théorie classique de Frobenius sur les représentations linéaires des groupes finis. Le premier se borne au cas
du groupe orthogonal, et montre comment la méthode de
Hurwitz permet d'étendre les classiques relations d'orthogonalité des caractères ; idée que H. Weyl combine avec les travaux
de E. Cartan sur les algèbres de Lie semi-simples pour obtenir
l'expression explicite des caractères des représentations irréductibles des groupes de Lie compacts et le théoréme de complète réductibilité (XI u)), puis, par une extension hardie de
la notion de (( représentation régulière », le célèbre théorème
de Peter-Weyl, analogue parfait de la décomposition de la
représentation réguliére en ses composantes irréductibles dans
la théorie des groupes finis (XI b)).
Un an auparavant, 0. Schreier avait fondé la théorie g h é -
rale des groupes topologiques, et dès ce moment il était clair
que les raisonnements du mémoire de Peter-Weyl devaient
rester valables tels quels pour tout groupe topologique sur lequel
on pourrait définir une '(( mesure invariante D. A vrai dire, les
notions générales sur la topologie et la mesure étaient encore
à cette époque en pleine formation, et ni la catégorie de groupes
topologiques sur lesquels on pouvait espérer définir une mesure
invariante, ni les ensembles pour lesquels cette (( mesure »
serait définie, ne semblaient clairement délimités. Le seul
point évident était qu'on ne pouvait espérer étendre au cas
général les méthodes infinitésimales prouvant l'existence d'une
mesure invariante sur un groupe de Lie. Or, un autre courant
d'idées, issu de travaux sur la mesure de Lebesgue, conduisait
précisé~nent à des méthodes d'attaque plus directes. Haus-