NOTE HISTORIQUE
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génerale de changement de variables dans les intégrales doubles
ou triples et du fait qu'une transformation orthogonale a un
déterminant égal à & 1. Même dans les géométries non-euclidiennes (ou pourtant le groupe des déplacements est différent),
le point de vue reste le même : de façon générale, Riemann
définit les éléments infinitésimaux d'aire ou de volume (ou
leurs analogues pour les dimensions 2 3) à partir d'un ds2
par les formules euclidiennes classiques, et leur invariance par
les transformations qui laissent invariant le ds2 est donc presque une tautologie.
C'est seulement vers 1890 qu'apparaissent d'autres extensions moins immédiates de la notion de mesure invariante par
un groupe, avec le développement de la théorie des invariants
intégraux, notamment par H. Poincaré et E. Cartan ; H.
Poincaré n'envisage que des groupes à un paramètre opérant
dans une portion d'espace, tandis que E. Cartan s'intéresse
surtout aux groupes de déplacements, mais opérant dans
d'autres espaces que celui où ils sont définis. Par exemple, il
détermine ainsi entre autres (II) la mesure invariante (par le
groupe des déplacements) dans l'espace des droites de R2 OU
de R3 (*) ; en outre, il signale que de façon générale les invariants
intégraux pour un groupe de Lie ne sont autres que des invariants différentiels particuliers, et qu'il est donc possible de les
déterminer tous par les méthodes de Lie. Il ne semble pas
toutefois que l'on ait songé à considérer ni à utiliser une mesure
invariante sur le groupe lui-même avant le travail fondamental
de A. Hurwitz en 1897 (V). Cherchant a former les polynômes
(sur Rn) invariants par le groupe orthogonal, Hurwitz part
de la remarque que, pour un groupe fini de transformations
linéaires, le probléme se resout aussitôt en prenant la moyenne
des transformés s.P d'un polynôme quelconque P par tous les
éléments s du groupe ; ce qui lui donne l'idée de remplacer,
pour le groupe orthogonal, la moyenne par une intégrale relative à une mesure invariante ; il donne explicitement l'expres(*) La mesure invariante sur l'espace des droites du plan avait. déjh été essentiellement déterminée h l'occasion de problèmes de u probabilites géométriques a, notamment
par CROFTON, dont E. CARTAN ne connaissait probablement pas les travaux à cette époque.
BOURBAKI, XXIX
14
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génerale de changement de variables dans les intégrales doubles
ou triples et du fait qu'une transformation orthogonale a un
déterminant égal à & 1. Même dans les géométries non-euclidiennes (ou pourtant le groupe des déplacements est différent),
le point de vue reste le même : de façon générale, Riemann
définit les éléments infinitésimaux d'aire ou de volume (ou
leurs analogues pour les dimensions 2 3) à partir d'un ds2
par les formules euclidiennes classiques, et leur invariance par
les transformations qui laissent invariant le ds2 est donc presque une tautologie.
C'est seulement vers 1890 qu'apparaissent d'autres extensions moins immédiates de la notion de mesure invariante par
un groupe, avec le développement de la théorie des invariants
intégraux, notamment par H. Poincaré et E. Cartan ; H.
Poincaré n'envisage que des groupes à un paramètre opérant
dans une portion d'espace, tandis que E. Cartan s'intéresse
surtout aux groupes de déplacements, mais opérant dans
d'autres espaces que celui où ils sont définis. Par exemple, il
détermine ainsi entre autres (II) la mesure invariante (par le
groupe des déplacements) dans l'espace des droites de R2 OU
de R3 (*) ; en outre, il signale que de façon générale les invariants
intégraux pour un groupe de Lie ne sont autres que des invariants différentiels particuliers, et qu'il est donc possible de les
déterminer tous par les méthodes de Lie. Il ne semble pas
toutefois que l'on ait songé à considérer ni à utiliser une mesure
invariante sur le groupe lui-même avant le travail fondamental
de A. Hurwitz en 1897 (V). Cherchant a former les polynômes
(sur Rn) invariants par le groupe orthogonal, Hurwitz part
de la remarque que, pour un groupe fini de transformations
linéaires, le probléme se resout aussitôt en prenant la moyenne
des transformés s.P d'un polynôme quelconque P par tous les
éléments s du groupe ; ce qui lui donne l'idée de remplacer,
pour le groupe orthogonal, la moyenne par une intégrale relative à une mesure invariante ; il donne explicitement l'expres(*) La mesure invariante sur l'espace des droites du plan avait. déjh été essentiellement déterminée h l'occasion de problèmes de u probabilites géométriques a, notamment
par CROFTON, dont E. CARTAN ne connaissait probablement pas les travaux à cette époque.
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