NOTE HISTORIQUE
(chapitres VI1 e t VIII)
(N.B. - Les chiffres romains renvoient à la bibliographie
placée à la fin de cette note.)
Les notions de longueur, d'aire e t de volume chez les Grecs
sont essentiellement fondées sur leur invariance par les déplacements : (( Des choses qui coïncident (Eqmpp6~ov~cc) sont égales ))
(Eucl. El., Livre 1, (( Notion commune » 4) ; et c'est par un
usage ingénieux de ce principe que sont obtenues toutes les
formules donnant les aires ou volumes des (( figures )) classiques
(polygones, coniques, polyèdres, sphères, etc.), tantôt par des
procédés de décomposition finie, tantôt par « exhaustion » (*).
En langage moderne, on peut dire que ce que font les géomètres
grecs, c'est démontrer l'existence de (( fonctions d'ensembles ))
additives et invariantes par déplacements, mais définies seulement pour des ensembles d'un type fort particulier. Le calcul intégral peut être considéré comme répondant au besoin
d'élargir le domaine de définition de ces fonctions d'ensemble,
et, de Cavalieri à H. Lebesgue, c'est cette préoccupation qui
sera au premier plan des recherches des analystes ; quant à la
propriété d'invariance par déplacements, elle passe au second
plan, étant devenue une conséquence triviale de la formule
(O)
On peut montrer que si deux polygones plans P, P' ont m&me aire, il y a deux
polygones R a P, R'a P' qui peuvent &tre décomposés chacun en un nombre fini de polygones Rt (resp. Ri) (1 < i < m) sans point intérieur commun, tels que Ri et R; se déduisent
I'un de I'autre par un déplacement (dépendant de i), et tels que R (resp. R') soit réunion
d'une famille finie de polygones SI (resp. Sj) (O 4 j < n), sans point intérieur commun,
avec So = P, S A = P', et Sj se déduisant de Si par un déplacement pour 1 < j < n. Par
contre, M. DEHN a démontré (Ueber den Rauminhalt, Math. Ann., t. LV (1902).
pp. 465-478) que cette propriété n'est plus valable pour le volume des polyhdres. et queles
procédés d'exhaustion employés depuis EUDOXE étaient par suite inévitables.
(chapitres VI1 e t VIII)
(N.B. - Les chiffres romains renvoient à la bibliographie
placée à la fin de cette note.)
Les notions de longueur, d'aire e t de volume chez les Grecs
sont essentiellement fondées sur leur invariance par les déplacements : (( Des choses qui coïncident (Eqmpp6~ov~cc) sont égales ))
(Eucl. El., Livre 1, (( Notion commune » 4) ; et c'est par un
usage ingénieux de ce principe que sont obtenues toutes les
formules donnant les aires ou volumes des (( figures )) classiques
(polygones, coniques, polyèdres, sphères, etc.), tantôt par des
procédés de décomposition finie, tantôt par « exhaustion » (*).
En langage moderne, on peut dire que ce que font les géomètres
grecs, c'est démontrer l'existence de (( fonctions d'ensembles ))
additives et invariantes par déplacements, mais définies seulement pour des ensembles d'un type fort particulier. Le calcul intégral peut être considéré comme répondant au besoin
d'élargir le domaine de définition de ces fonctions d'ensemble,
et, de Cavalieri à H. Lebesgue, c'est cette préoccupation qui
sera au premier plan des recherches des analystes ; quant à la
propriété d'invariance par déplacements, elle passe au second
plan, étant devenue une conséquence triviale de la formule
(O)
On peut montrer que si deux polygones plans P, P' ont m&me aire, il y a deux
polygones R a P, R'a P' qui peuvent &tre décomposés chacun en un nombre fini de polygones Rt (resp. Ri) (1 < i < m) sans point intérieur commun, tels que Ri et R; se déduisent
I'un de I'autre par un déplacement (dépendant de i), et tels que R (resp. R') soit réunion
d'une famille finie de polygones SI (resp. Sj) (O 4 j < n), sans point intérieur commun,
avec So = P, S A = P', et Sj se déduisant de Si par un déplacement pour 1 < j < n. Par
contre, M. DEHN a démontré (Ueber den Rauminhalt, Math. Ann., t. LV (1902).
pp. 465-478) que cette propriété n'est plus valable pour le volume des polyhdres. et queles
procédés d'exhaustion employés depuis EUDOXE étaient par suite inévitables.