EXERCICES
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par aucune partie compacte de G, e t soit H un sous-groupe discret de
G tel que G/H soit compact. Montrer que H ne peut être engendré
par un nombre fini d'éléments, mais que la mesure de Haar normalisée cc, de H est adhérente dans l? à l'ensemble des cc telles que
llpall = f co (considérer les mesures de Haar normalisées des socsgroupes de H engendrés par un nombre fini d'éléments).
5) Soit G le groupe discret somme directe d'une suite infinie (6,)
de sous-groupes à deux éléments, et soit p, la projection de G sur G,.
Posons H, = pnl(e), et soit cc, la mesure de Haar normalisée de H,. Si p
est la mesure de Haar normalisée de G, montrer que dans
la
suite (a,) converge vers p mais que l'on a l l p,,l l
= 2 et l l p,l l = 1.
6) Soit G un groupe localement compact ne vérifiant pas la condition (L) du no 4.
a ) Montrer (avec les notations du no 4) que la bijection canonique
de N sur D n'est pas un homéomorphisme. (Pour tout voisinage W
de e dans G, soit A(W) l'ensemble des sous-groupes finis # {e) contenus
dans W ; montrer que les A(W) forment la base d'un filtre convergeant
dans D vers le sous-groupe {e), mais que si c c , désigne la mesure de
Haar normalisée de H, les mesures cc, ne convergent pas vers E,).
b) Si de plus G est rnétrisahle, montrer qu'il existe une partie
compacte B de l'espace D des sous-groupes discrets de G, qui n'est
contenue dans aucun des ensembles Du définis dans le th. 1 du no 3.