chap. VIII, $ 5
l'exerc. 15 a) et l'exerc. 19 b) ; pour prouver que u et x sont continus,
remarquer que T définit un isomorphisme de l'algèbre Y(A,) des endomorphismes continus de l'espace vectoriel topologique A, sur l'algèbre
analogue $P(A2) et que cet isomorphisme est bicontinu pour la topologie
de la convergence simple ; d'autre part, observer que s + S(s-l) est un
isomorphisme de G sur un sous-groupe multiplicatif de 3(A1)).
c) Déduire de b) que l'on a, pour toute f E A,,
(T(f))(t) = x(u-Yf))f(u-Yt))
pour tout t E G,.
On rappelle (Alg., chap. III, 3e éd., 8 1) qu'il y a des groupes
finis G,, G, tels que les algèbres L1(Gl, P,) et L1(G,, P, ) soient isomorphes sans que G, et G , le soient.
1) Soient X un espace localement compact, 5 (ou 5(X)) l'ensemble
des parties fermkes de X. Pour toute partie compacte K de X, tout
voisinage compact L de K et tout entourage V de l'unique structure
uniforme de L, soit Q(K, L, V) l'ensemble des couples (A, B) d'éléments
de 5 satisfaisant aux deux conditions
a) Montrer que les ensembles Q(K, L, V) forment un système
fondamental d'entourages pour une structure uniforme séparée sur 5.
b ) Soit 4 une structure uniforme compatible avec la topologie de
X. Pour toute partie compacte I< de X et tout entourage W de Q,
soit P(K, W) l'ensemble des couples (A, B) d'éléments de 5 satisfaisant aux deux conditions
Montrer que les ensembles P(K, W) forment un système fondamental
d'entourages pour la structure uniforme définie dans a).
c) Soient X' le compactifié d'Alexandroff de X, w le point à l'infini
de X' ; pour toute partie fermée A de X, soit A' = A U (a). Montrer
que l'application A -A' est un isomorphisme de l'espace uniforme
S(X) défini dans a) sur le sous-espace de g(X') formé des parties fermées
contenant w (utiliser b)). En déduire que S(X) est compact (cf. Top.
gén., chap. II, 3 e éd., 5 4, exerc. 15).
2) Soient G un groupe localement compact, 5(G) l'espace uniforme
des parties fermées de G (défini au no 6 ou dans l'exerc. 1). Démontrer
directement que l'ensemble X des sous-groupes fermés de G est fermé
dans S(G) (sans utiliser la prop. 3 du no 1).
3) Soient G un groupe locale~nent compact, x une représentation
continue de G dans RT. Généraliser les prop. 4, 5 et 6 à l'ensemble r,
des mesures a E l? telles que la restriction de x à Ha soit le module de
a. (Remplacer la mesure p par X . p et considérer les mesures quotients
(x . t*)/a
4) Soit G un groupe localement compact qui ne soit engendré
l'exerc. 15 a) et l'exerc. 19 b) ; pour prouver que u et x sont continus,
remarquer que T définit un isomorphisme de l'algèbre Y(A,) des endomorphismes continus de l'espace vectoriel topologique A, sur l'algèbre
analogue $P(A2) et que cet isomorphisme est bicontinu pour la topologie
de la convergence simple ; d'autre part, observer que s + S(s-l) est un
isomorphisme de G sur un sous-groupe multiplicatif de 3(A1)).
c) Déduire de b) que l'on a, pour toute f E A,,
(T(f))(t) = x(u-Yf))f(u-Yt))
pour tout t E G,.
On rappelle (Alg., chap. III, 3e éd., 8 1) qu'il y a des groupes
finis G,, G, tels que les algèbres L1(Gl, P,) et L1(G,, P, ) soient isomorphes sans que G, et G , le soient.
1) Soient X un espace localement compact, 5 (ou 5(X)) l'ensemble
des parties fermkes de X. Pour toute partie compacte K de X, tout
voisinage compact L de K et tout entourage V de l'unique structure
uniforme de L, soit Q(K, L, V) l'ensemble des couples (A, B) d'éléments
de 5 satisfaisant aux deux conditions
a) Montrer que les ensembles Q(K, L, V) forment un système
fondamental d'entourages pour une structure uniforme séparée sur 5.
b ) Soit 4 une structure uniforme compatible avec la topologie de
X. Pour toute partie compacte I< de X et tout entourage W de Q,
soit P(K, W) l'ensemble des couples (A, B) d'éléments de 5 satisfaisant aux deux conditions
Montrer que les ensembles P(K, W) forment un système fondamental
d'entourages pour la structure uniforme définie dans a).
c) Soient X' le compactifié d'Alexandroff de X, w le point à l'infini
de X' ; pour toute partie fermée A de X, soit A' = A U (a). Montrer
que l'application A -A' est un isomorphisme de l'espace uniforme
S(X) défini dans a) sur le sous-espace de g(X') formé des parties fermées
contenant w (utiliser b)). En déduire que S(X) est compact (cf. Top.
gén., chap. II, 3 e éd., 5 4, exerc. 15).
2) Soient G un groupe localement compact, 5(G) l'espace uniforme
des parties fermées de G (défini au no 6 ou dans l'exerc. 1). Démontrer
directement que l'ensemble X des sous-groupes fermés de G est fermé
dans S(G) (sans utiliser la prop. 3 du no 1).
3) Soient G un groupe locale~nent compact, x une représentation
continue de G dans RT. Généraliser les prop. 4, 5 et 6 à l'ensemble r,
des mesures a E l? telles que la restriction de x à Ha soit le module de
a. (Remplacer la mesure p par X . p et considérer les mesures quotients
(x . t*)/a
4) Soit G un groupe localement compact qui ne soit engendré