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EXERCICES
205
mesure y telle que s -. p(A SB) ne soit pas continue ; si y est une mesure
de base @ e t si A est p-intégrable et B borélien, la fonction s - y(A n SB)
est continue dans G.
f[ 26) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G. Pour qu'une partie H de Ls(G, P) (1 < p < + CO)
soit relativement compacte (pour la topologie de la convergence en
moyenne d'ordre p), il faut e t il suffit que les conditions suivantes
soient satisfaites : 10 H est borné dans LP(G, P) ; 2 O pour tout E > 0,
il existe une partie compacte K de G que telle jlfqG-Klls < E pour toute
fonction f E H ; 30 pour tout E > O, il existe un voisinage V de e dans
G tel que lly(s)f - fil, L E pour toute f E H et tout s E V. (Pour prouver
que les conditions sont suffisantes, observer que si g E .f(G), e t si L est
une partie compacte de G, l'image par l'application f - g + f de l'ensemble
des restrictions à L des fonctions de H est une partie équicontinue de
-Wa.
11 27) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G. Si G n'est pas réduit à e, L1(G, P) est une algèbre
(pour la convolution) admettant des diviseurs de zéro autres que 0.
On pourra procéder comme suit pour former deux éléments f, g non
nuls de L1(G, P) tels que f + g = 0 :
10 Cas où G contient u n sous-groupe compact H non réduit à e.
Prendre alors pour f une fonction caractéristique d'un ensemble A,
pour g une différence (PSB - qB de deux fonctions caractéristiques
d'ensemble, A e t B étant convenablement choisis.
20 Cas où G = Z. Montrer alors que l'on peut prendre
pour tout n E Z et g(n) = f(- n).
30 Cas général. Prouver d'abord qu'il existe a # e dans G tel que
A(a) = 1. L'adhérence H dans G du sous-groupe engendré par a est
alors un sous-groupe compact ou un sous-groupe isomorphe à Z (Top.
gén., chap. V, g 1, exerc. 2). Dans le premier cas, utiliser le résultat du
+a'
+a'
10 ; dans le second, prendre f(2) =
a,qu,-n(t), d i ) =
P,cp,~~(t), en
n=-a'
n=-a'
choisissant convenablement U et les suites (a,), ( P, ) à l'aide du 20.
7 28) Soient G,, G, deux groupes localement compacts, pl, (3, des
mesures de Haar à gauche sur G,, G, et A, (resp. A,) l'algèbre topologique (sur R) L1(Gl, @,) (resp. L1(G,, p,)). Soit T un isomorphisme
d'algèbres de A, sur A,, tel que la relation f > O presque partout soit
équivalente à T(f) 2 O presque partout.
a ) Montrer que T est un isomorphisme d'algèbres topologiques.
(Noter d'abord que si une suite décroissante (f,) d'éléments de A, tend
vers O presque partout, il en est de même de la suite des T(f,) ; en
deduire que pour toute suite (f,) majorée dans A,, T(sup(f,)) = sup(T(f,))
e t conclure à l'aide du lemme de Fatou).
b ) Montrer que T se prolonge d'une seule maniére en un isomorphisme de l'algèbre topologique A1(G,) sur l'algèbre topologique A1(G2),
et qu'il existe un isomorphisme topologique u de Gl sur G, et un homomorphisme continu x de G1 dans R1; tel que T(E,) = x(s)E~,,, (utiliser
EXERCICES
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mesure y telle que s -. p(A SB) ne soit pas continue ; si y est une mesure
de base @ e t si A est p-intégrable et B borélien, la fonction s - y(A n SB)
est continue dans G.
f[ 26) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G. Pour qu'une partie H de Ls(G, P) (1 < p < + CO)
soit relativement compacte (pour la topologie de la convergence en
moyenne d'ordre p), il faut e t il suffit que les conditions suivantes
soient satisfaites : 10 H est borné dans LP(G, P) ; 2 O pour tout E > 0,
il existe une partie compacte K de G que telle jlfqG-Klls < E pour toute
fonction f E H ; 30 pour tout E > O, il existe un voisinage V de e dans
G tel que lly(s)f - fil, L E pour toute f E H et tout s E V. (Pour prouver
que les conditions sont suffisantes, observer que si g E .f(G), e t si L est
une partie compacte de G, l'image par l'application f - g + f de l'ensemble
des restrictions à L des fonctions de H est une partie équicontinue de
-Wa.
11 27) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G. Si G n'est pas réduit à e, L1(G, P) est une algèbre
(pour la convolution) admettant des diviseurs de zéro autres que 0.
On pourra procéder comme suit pour former deux éléments f, g non
nuls de L1(G, P) tels que f + g = 0 :
10 Cas où G contient u n sous-groupe compact H non réduit à e.
Prendre alors pour f une fonction caractéristique d'un ensemble A,
pour g une différence (PSB - qB de deux fonctions caractéristiques
d'ensemble, A e t B étant convenablement choisis.
20 Cas où G = Z. Montrer alors que l'on peut prendre
pour tout n E Z et g(n) = f(- n).
30 Cas général. Prouver d'abord qu'il existe a # e dans G tel que
A(a) = 1. L'adhérence H dans G du sous-groupe engendré par a est
alors un sous-groupe compact ou un sous-groupe isomorphe à Z (Top.
gén., chap. V, g 1, exerc. 2). Dans le premier cas, utiliser le résultat du
+a'
+a'
10 ; dans le second, prendre f(2) =
a,qu,-n(t), d i ) =
P,cp,~~(t), en
n=-a'
n=-a'
choisissant convenablement U et les suites (a,), ( P, ) à l'aide du 20.
7 28) Soient G,, G, deux groupes localement compacts, pl, (3, des
mesures de Haar à gauche sur G,, G, et A, (resp. A,) l'algèbre topologique (sur R) L1(Gl, @,) (resp. L1(G,, p,)). Soit T un isomorphisme
d'algèbres de A, sur A,, tel que la relation f > O presque partout soit
équivalente à T(f) 2 O presque partout.
a ) Montrer que T est un isomorphisme d'algèbres topologiques.
(Noter d'abord que si une suite décroissante (f,) d'éléments de A, tend
vers O presque partout, il en est de même de la suite des T(f,) ; en
deduire que pour toute suite (f,) majorée dans A,, T(sup(f,)) = sup(T(f,))
e t conclure à l'aide du lemme de Fatou).
b ) Montrer que T se prolonge d'une seule maniére en un isomorphisme de l'algèbre topologique A1(G,) sur l'algèbre topologique A1(G2),
et qu'il existe un isomorphisme topologique u de Gl sur G, et un homomorphisme continu x de G1 dans R1; tel que T(E,) = x(s)E~,,, (utiliser