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INTÉGRATION
chap. VIII, 3 4
d) Soient A une partie relativement compacte de dII contenant O,
B une partie relativement compacte de A, ; montrer que pour tout
v, E B la restriction à A x B de l'application ( p , ~ )
-t y * v de AI, x dI
dans A,, est continue au point (O, v,). (Utiliser l'exerc. 20 a), et l'exerc.
8 c).)
e) Soient A une partie bornée de dl(G), f une fonction de L1(G, p) ;
montrer que la restriction à A de l'application p -. y f de A,,, dans
A,, est continue.
f ) Soit d!(G) l'ensemble des mesures positives bornées sur G.
Montrer que si une partie A de A$(G) est compacte pour Y,, elle
est aussi compacte pour Y , , , . (Se ramener à prouver que A est un
ensemble serré. Raisonner par l'absurde, en utilisant le fait que pour
f E Z(G), l'image de A par l'application y -. p * f est un ensemble serré
en vertu de c).)
g) Montrer que pour G = R, les topologies induites sur d:(G)
par YI1 et Y,,, sont distinctes.
7 22) Les notations sont celles de l'exerc. 21 du 3 4 et de l'exerc. 11
du § 3.
a) Soit (p,) une suite de mesures bornées sur G. On suppose que
pour toute fonction f E L1(G, p), la suite (p, * f) converge vers O dans
4,. Montrer que la suite des normes (Ily,i/) est bornée (utiliser le th.
de Banach-Steinhaus pour la famille d'applications f + p , * f de L1(G, P)
dans lui-même, ainsi que l'exerc. 15). E n déduire que la suite (y,)
tend vers O dans A, (utiliser l'exerc. 20).
b ) Soit (p,) une suite de mesures bornées sur G telle que la suite
(p, * f) tende vaguement vers O pour toute fonction f E L ~ ( G ,
fl);
montrer que la suite (y,) tend vaguement vers O (pour toute partie
compacte K de G, montrer, en raisonnant comme dans a), que la suite
((p,l(K)) est bornée). Donner un exemple (avec G = 2 ) oh la suite
(IIy,Jl) n'est pas bornée.)
c) Soit (pn) une suite de mesures bornées sur G telle que pour toute
fonction f E L1(G, p), la suite (p, * f) converge vers O dans A,, ; montrer que la suite (y,) converge vers O dans A,* (utiliser a)).
23) Soient G un groupe localement compact, fl une mesure de
Haar à gauche sur G, f et g deux fonctions positives localement p-intégrables. On suppose que f et g sont convolables et que l'une de ces
fonctions est nulle dans le complémentaire d'une réunion dénombrable
d'ensembles compacts. Montrer que f * g est égale localement presque
partout à une fonction semi-continue inférieurement (utiliser la prop. 15
du no 5).
24) Montrer que les inégalités des prop. 12 et 15 du na 5 ne peuvent
être améliorées par l'insertion d'un facteur constant c < 1 aux seconds
membres.
25) Soient G un groupe localement compact, f 3 une mesure de
Haar à gauche sur G, y une mesure positive sur G. Si A est un ensemble
p-intégrable e t B un ensemble borélien dans G, la fonction
est P-mesurable dans G ; si en outre B est p-intégrable, il en est de même
de u, et l'on a y(A sB)dp(s) = p(A)p(B-l). Donner un exemple de
S
INTÉGRATION
chap. VIII, 3 4
d) Soient A une partie relativement compacte de dII contenant O,
B une partie relativement compacte de A, ; montrer que pour tout
v, E B la restriction à A x B de l'application ( p , ~ )
-t y * v de AI, x dI
dans A,, est continue au point (O, v,). (Utiliser l'exerc. 20 a), et l'exerc.
8 c).)
e) Soient A une partie bornée de dl(G), f une fonction de L1(G, p) ;
montrer que la restriction à A de l'application p -. y f de A,,, dans
A,, est continue.
f ) Soit d!(G) l'ensemble des mesures positives bornées sur G.
Montrer que si une partie A de A$(G) est compacte pour Y,, elle
est aussi compacte pour Y , , , . (Se ramener à prouver que A est un
ensemble serré. Raisonner par l'absurde, en utilisant le fait que pour
f E Z(G), l'image de A par l'application y -. p * f est un ensemble serré
en vertu de c).)
g) Montrer que pour G = R, les topologies induites sur d:(G)
par YI1 et Y,,, sont distinctes.
7 22) Les notations sont celles de l'exerc. 21 du 3 4 et de l'exerc. 11
du § 3.
a) Soit (p,) une suite de mesures bornées sur G. On suppose que
pour toute fonction f E L1(G, p), la suite (p, * f) converge vers O dans
4,. Montrer que la suite des normes (Ily,i/) est bornée (utiliser le th.
de Banach-Steinhaus pour la famille d'applications f + p , * f de L1(G, P)
dans lui-même, ainsi que l'exerc. 15). E n déduire que la suite (y,)
tend vers O dans A, (utiliser l'exerc. 20).
b ) Soit (p,) une suite de mesures bornées sur G telle que la suite
(p, * f) tende vaguement vers O pour toute fonction f E L ~ ( G ,
fl);
montrer que la suite (y,) tend vaguement vers O (pour toute partie
compacte K de G, montrer, en raisonnant comme dans a), que la suite
((p,l(K)) est bornée). Donner un exemple (avec G = 2 ) oh la suite
(IIy,Jl) n'est pas bornée.)
c) Soit (pn) une suite de mesures bornées sur G telle que pour toute
fonction f E L1(G, p), la suite (p, * f) converge vers O dans A,, ; montrer que la suite (y,) converge vers O dans A,* (utiliser a)).
23) Soient G un groupe localement compact, fl une mesure de
Haar à gauche sur G, f et g deux fonctions positives localement p-intégrables. On suppose que f et g sont convolables et que l'une de ces
fonctions est nulle dans le complémentaire d'une réunion dénombrable
d'ensembles compacts. Montrer que f * g est égale localement presque
partout à une fonction semi-continue inférieurement (utiliser la prop. 15
du no 5).
24) Montrer que les inégalités des prop. 12 et 15 du na 5 ne peuvent
être améliorées par l'insertion d'un facteur constant c < 1 aux seconds
membres.
25) Soient G un groupe localement compact, f 3 une mesure de
Haar à gauche sur G, y une mesure positive sur G. Si A est un ensemble
p-intégrable e t B un ensemble borélien dans G, la fonction
est P-mesurable dans G ; si en outre B est p-intégrable, il en est de même
de u, et l'on a y(A sB)dp(s) = p(A)p(B-l). Donner un exemple de
S