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EXERCICES
203
f >, O localement presque partout. Montrer alors que y est une mesure
ponctuelle. (Observer que pour toute fonction g E Lm(G, P), la relation
V
y * g > O localement presque partout entraîne g O localement presque
partout).
20) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de Haar
A gauche sur G.
a) Soit f une fonction numérique bornée dans G, uniformEment
continue pour la structure uniforme gauche. Montrer que pour toute
mesure bornée y sur G, y * f est uniformément continue pour la structure uniforme gauche ; en outre, avec les notations du no 7, prop. 19,
f est limite, pour la topologie de la convergence uniforme dâns G, des
fonctions f, f suivant le filtre des sections de B.
b) On prend G = T ; donner un exemple de fonction continue h
dans T qui ne soit pas de la forme f * g, où f e t g appartiennent A L2(T, P).
(Utiliser les exerc. 19 b) et 20 du chap. IV, § 6.)
7 21) Soient G un groupe localement compact, P une mesure de
Haar à gauche sur G ; on identifie canoniquement L1(G, P) à un sousespace de J1(G).
a) Avec les notations du 3 3, exerc. I l , soient A une partie relativement compacte de AII,, B une partie de L1(G, P), relativement
compacte dans AI,. Montrer que la restriction à A x B de l'application (y, v) + y * v de AIII x AI,, dans AI, est continue. (Prouver
d'abord que si A et B sont compacts, l'image de A x B par cette application est compacte ; utiliser l'exerc. 10 du 3 3, ainsi que le critère cc)
du chap. V, g 5 , exerc. 17. Pour montrer ensuite que (y, V) + E* *vest
continue, utiliser I'exerc. 11 c) du 5 3.)
b) Soit Qsm(G) l'ensemble des fonctions numériques bornées et
uniformément continues dans G pour la structure uniforme gauche.
On désigne par Y,, la topologie o(dl(G),Qsm(G)), par AI, lkspace
d l ( G ) muni de Y,,. E n prenant G = R, donner un exemple d'une suite
(y,) de mesures sur G tendant vers O pour FI, et d'une suite (f,) de
fonctions de L1(G, P), tendant vers O pour YIv (OU, ce qui revient a u
même, pour la topologie o(L1(G, p), Lm(G, P)), telles que la suite (y,* f,)
ne tende pas vers O pour FI,, (prendre f,(t) = sin nt dans l'intervalle
(O, x ) , f,(t) = O ailleurs).
c) Soient A une partie relativement con~pacte de AII, B une
partie de Ll(G, P), relativement compacte pour la topologie de la norme
Ilflll. Montrer que la restriction à A x B de l'application (p, f) + p * f
de AII1 x L1(G, fi) dans L1(G, p) est continue (L1(G, P) étant muni
de sa topologie d'espace normé). (Se ramener à prouver que pour
f E Z ( G ) , l'application p -. y * f de diII dans L1(G, P) est continue
dans A. E n utilisant le fait que pour g E Lm(G, P) et f E Z(G), g * f
est uniformément continue pour la structure uniforme gauche, montrer
d'abord que l'application y -. y * f de dI1 dans AIv est continue.
Utilisant ensuite l'exerc. 20 a), se ramener à prouver que si C est une
partie de L1(G, P) compacte pour la topologie o(L1(G, p), Lm(G, P)) e t
h E X(G), l'application y + y * h de C dans L1(C, P) est continue
lorsque L1(G, fi) est munie de sa topologie d'espace normé. Par le
même raisonnement que dans a), montrer qu'il sufit pour cela de prouver que l'image de C par cette application est compacte pour l a topologie d'espace normC. Utiliser pour cela le th. de Smulian, le fait que C
est serré ( § 3, exerc. 10) et le th. de Lebesgue).
EXERCICES
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f >, O localement presque partout. Montrer alors que y est une mesure
ponctuelle. (Observer que pour toute fonction g E Lm(G, P), la relation
V
y * g > O localement presque partout entraîne g O localement presque
partout).
20) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de Haar
A gauche sur G.
a) Soit f une fonction numérique bornée dans G, uniformEment
continue pour la structure uniforme gauche. Montrer que pour toute
mesure bornée y sur G, y * f est uniformément continue pour la structure uniforme gauche ; en outre, avec les notations du no 7, prop. 19,
f est limite, pour la topologie de la convergence uniforme dâns G, des
fonctions f, f suivant le filtre des sections de B.
b) On prend G = T ; donner un exemple de fonction continue h
dans T qui ne soit pas de la forme f * g, où f e t g appartiennent A L2(T, P).
(Utiliser les exerc. 19 b) et 20 du chap. IV, § 6.)
7 21) Soient G un groupe localement compact, P une mesure de
Haar à gauche sur G ; on identifie canoniquement L1(G, P) à un sousespace de J1(G).
a) Avec les notations du 3 3, exerc. I l , soient A une partie relativement compacte de AII,, B une partie de L1(G, P), relativement
compacte dans AI,. Montrer que la restriction à A x B de l'application (y, v) + y * v de AIII x AI,, dans AI, est continue. (Prouver
d'abord que si A et B sont compacts, l'image de A x B par cette application est compacte ; utiliser l'exerc. 10 du 3 3, ainsi que le critère cc)
du chap. V, g 5 , exerc. 17. Pour montrer ensuite que (y, V) + E* *vest
continue, utiliser I'exerc. 11 c) du 5 3.)
b) Soit Qsm(G) l'ensemble des fonctions numériques bornées et
uniformément continues dans G pour la structure uniforme gauche.
On désigne par Y,, la topologie o(dl(G),Qsm(G)), par AI, lkspace
d l ( G ) muni de Y,,. E n prenant G = R, donner un exemple d'une suite
(y,) de mesures sur G tendant vers O pour FI, et d'une suite (f,) de
fonctions de L1(G, P), tendant vers O pour YIv (OU, ce qui revient a u
même, pour la topologie o(L1(G, p), Lm(G, P)), telles que la suite (y,* f,)
ne tende pas vers O pour FI,, (prendre f,(t) = sin nt dans l'intervalle
(O, x ) , f,(t) = O ailleurs).
c) Soient A une partie relativement con~pacte de AII, B une
partie de Ll(G, P), relativement compacte pour la topologie de la norme
Ilflll. Montrer que la restriction à A x B de l'application (p, f) + p * f
de AII1 x L1(G, fi) dans L1(G, p) est continue (L1(G, P) étant muni
de sa topologie d'espace normé). (Se ramener à prouver que pour
f E Z ( G ) , l'application p -. y * f de diII dans L1(G, P) est continue
dans A. E n utilisant le fait que pour g E Lm(G, P) et f E Z(G), g * f
est uniformément continue pour la structure uniforme gauche, montrer
d'abord que l'application y -. y * f de dI1 dans AIv est continue.
Utilisant ensuite l'exerc. 20 a), se ramener à prouver que si C est une
partie de L1(G, P) compacte pour la topologie o(L1(G, p), Lm(G, P)) e t
h E X(G), l'application y + y * h de C dans L1(C, P) est continue
lorsque L1(G, fi) est munie de sa topologie d'espace normé. Par le
même raisonnement que dans a), montrer qu'il sufit pour cela de prouver que l'image de C par cette application est compacte pour l a topologie d'espace normC. Utiliser pour cela le th. de Smulian, le fait que C
est serré ( § 3, exerc. 10) et le th. de Lebesgue).