202
INTEGRATION
chap. VIII, $ 4
de Lp(G, p) est surjectif, montrer qu'il est bijectif (en utilisant la régu-.
larisation, montrer que si y(y) n'est pas injectif, l'endomorphisme
y ( F ) de Lq(G, p) n'est pas injectif : on utilisera le chap. IV, § 6, no 5,
cor. de la prop. 4).
d) On prend G = Z et y = el - E,; montrer que y(y) est injectif dans les Lp(Z, P) tels que p # + co, mais non dans Lm(Z, p), et n'est
surjectif pour aucune valeur de p.
7 18) Les notations et conventions sont celles de l'exerc. 15.
a) Soit y une mesure bornée sur G, dont le support contient au
moins deux points distincts. Montrer qu'il existe un ensemble compact K,
et un nombre k tel que O < k < 1, pour lesquels on a llrp,~. pli< kllyll
pour tout s E G. (Si t, t' sont deux points distincts du support de y,
prendre pour K un voisinage assez petit de e pour que s K ne puisse
rencontrer à la fois tK et tlK).
6) Soit p une mesure bornée > O sur G, dont le support contient
au moins deux points distincts. Montrer qu'il existe une fonction
f E L4>(G, p), non dquivalente à une fonction > O, et telle que p * f
soit > O localement presque partout pour P. (Utiliser a), en prenant
f égalû à -1 dans K et à une constante positive convenable dans CK.)
Si de plus le support de y est compact, il existe une fonction f ayant les
propriétés précédentes et ayant un support compact.
c) Soient pi, p2 deux mesures bornées positives non nulles sur G,
permutables pour la convolution, et telles que le support K de y1 soit
compact e t contienne e. On pose y = y, + pz. Soient V un voisinage
compact symétrique de e contenant K, g la fonction égale à y + rpv
dans CV, à O dans V ; montrer que la fonction y * (g - (y, * rpv)) est
localement presque partout
O dans C(v2). D'autre part, montrer
qu'il existe un ensemble compact H tel que la fonction y, * rp, soit
presque partout 3 0 dans V2.
d ) Déduire de c) que si y est une mesure positive bornée dans G
dont le support contient au moins deus points distincts, il existe une
fonction f appartenant à tous les LP(G, 9) (1 < p S + co), non équivalente à une fonction 3 O, et telle que p * f soit > O localement presque
partout, lorsqu'on fait en outre l'une des hypothèses suivantes : cc) G
est commutatif ; p) il y a un point a E G tel que p({a}) ' O. (Décomposer
convenablement p en une somme de deux mesures 2 O permutables).
7 19) Les notations e t conventions sont celles de l'exerc. 15.
a) Montrer que si une mesure bornée positive p sur G est telle que
poïir toute fonction f E L"(G, p) (p donné, 1 < p < + co) la relation
p * f O localement presque partout entraîne f >, O localement presque
partout, alors on peut conclure que p est une mesure ponctuelle dans
chacun des cas suivants : cc) G est compact ; p) G est discret ; y) G est
commutatif (utiliser l'exerc. 18) (*). Pour p = +a, la même conclusion est valable sans hypothèse supplémentaire sur G.
b ) Soit y une mesure bornée positive sur G telle que : 10 y(y) soit
un endomorphisme surjectif de L1(G, P) ; 20 pour toute fonction
f E L1 (G, p) la relation p f > O localement presque partout entrafne
(*) Pour un exemple oh ir est non ponctuelle et telle que ri. t f > O entrafne t Z 0,
voir WILLIAMSON, Proe. Edimb. Math. Soc., 1957, pp. 71-77.
INTEGRATION
chap. VIII, $ 4
de Lp(G, p) est surjectif, montrer qu'il est bijectif (en utilisant la régu-.
larisation, montrer que si y(y) n'est pas injectif, l'endomorphisme
y ( F ) de Lq(G, p) n'est pas injectif : on utilisera le chap. IV, § 6, no 5,
cor. de la prop. 4).
d) On prend G = Z et y = el - E,; montrer que y(y) est injectif dans les Lp(Z, P) tels que p # + co, mais non dans Lm(Z, p), et n'est
surjectif pour aucune valeur de p.
7 18) Les notations et conventions sont celles de l'exerc. 15.
a) Soit y une mesure bornée sur G, dont le support contient au
moins deux points distincts. Montrer qu'il existe un ensemble compact K,
et un nombre k tel que O < k < 1, pour lesquels on a llrp,~. pli< kllyll
pour tout s E G. (Si t, t' sont deux points distincts du support de y,
prendre pour K un voisinage assez petit de e pour que s K ne puisse
rencontrer à la fois tK et tlK).
6) Soit p une mesure bornée > O sur G, dont le support contient
au moins deux points distincts. Montrer qu'il existe une fonction
f E L4>(G, p), non dquivalente à une fonction > O, et telle que p * f
soit > O localement presque partout pour P. (Utiliser a), en prenant
f égalû à -1 dans K et à une constante positive convenable dans CK.)
Si de plus le support de y est compact, il existe une fonction f ayant les
propriétés précédentes et ayant un support compact.
c) Soient pi, p2 deux mesures bornées positives non nulles sur G,
permutables pour la convolution, et telles que le support K de y1 soit
compact e t contienne e. On pose y = y, + pz. Soient V un voisinage
compact symétrique de e contenant K, g la fonction égale à y + rpv
dans CV, à O dans V ; montrer que la fonction y * (g - (y, * rpv)) est
localement presque partout
O dans C(v2). D'autre part, montrer
qu'il existe un ensemble compact H tel que la fonction y, * rp, soit
presque partout 3 0 dans V2.
d ) Déduire de c) que si y est une mesure positive bornée dans G
dont le support contient au moins deus points distincts, il existe une
fonction f appartenant à tous les LP(G, 9) (1 < p S + co), non équivalente à une fonction 3 O, et telle que p * f soit > O localement presque
partout, lorsqu'on fait en outre l'une des hypothèses suivantes : cc) G
est commutatif ; p) il y a un point a E G tel que p({a}) ' O. (Décomposer
convenablement p en une somme de deux mesures 2 O permutables).
7 19) Les notations e t conventions sont celles de l'exerc. 15.
a) Montrer que si une mesure bornée positive p sur G est telle que
poïir toute fonction f E L"(G, p) (p donné, 1 < p < + co) la relation
p * f O localement presque partout entraîne f >, O localement presque
partout, alors on peut conclure que p est une mesure ponctuelle dans
chacun des cas suivants : cc) G est compact ; p) G est discret ; y) G est
commutatif (utiliser l'exerc. 18) (*). Pour p = +a, la même conclusion est valable sans hypothèse supplémentaire sur G.
b ) Soit y une mesure bornée positive sur G telle que : 10 y(y) soit
un endomorphisme surjectif de L1(G, P) ; 20 pour toute fonction
f E L1 (G, p) la relation p f > O localement presque partout entrafne
(*) Pour un exemple oh ir est non ponctuelle et telle que ri. t f > O entrafne t Z 0,
voir WILLIAMSON, Proe. Edimb. Math. Soc., 1957, pp. 71-77.