§ 4
EXERCICES
201
Montrer que, pour toute fonction g E Y(G), on a alors A(f * g) = A(f) g
(remarquer que s - g(s)A(f * a,) est une application p-intégrable de G
dans Ll(G, P)) ; réciproque. E n déduire qu'il existe une mesure bornée
et une seule y sur G telle que A(f) = p * f pour tout f E L1(G, P), et que
IlAl1 = llpll. (Avec les notations de la prop. 19 du no 7, considérer la
limite de A(f, * g) suivant un ultrafiltre plus fin que le filtre des sections de 8, en utilisant la compacité de la boule unité de d l ( G ) pour
la topologie faible a(dl(G), T(G)).)
b) Soit p une mesure bornée sur G ; montrer directement que la
norme de l'endomorphisme continu y(y) : f - y * f de Lw(G, P) est
égale à llpil. (Se ramener au cas oh p est à support compact, et où y
a une densité continue par rapport à \pl.) E n déduire de nouveau que
l'endomorphisme continu y(y) : f - p * f de L1(G, P) a une norme égale
à 1 1 ~ 1 1 .
c) On suppose G compact et p positive. Montrer que pour 1 < p < 4-03,
la norme de l'endomorphisme continu y(y) : f - p f de Lp(G, P) est
égale à Il yll.
d) On prend pour G le groupe cyclique d'ordre 3. Donner un exemple
de mesure y sur G telle que la norme de l'endomorphisme y(y) de L*(G, P)
soit strictement inférieure à Jlpll pour 1 < p < + m.
7 16) Les notations et conventions sont celles de l'exerc. 15.
a ) Montrer que, pour qu'une mesure bornée y sur G soit telle que
lly fill = IlfllI pour toute f E L1(G, P), il faut e t il suffit que y soit une
mesure ponctuelle de norme 1. (En utilisant le fait que l'endomorphisme
y(lp1) de L1(G, p) a pour norme II~LII (exerc. 15), montrer qu'on doit
nécessairement avoir, pour toute fonction f E S ( G ) ,
en déduire d'abord que tJ: = clpl, oh c est une constante de valeur
absolue 1, puis que p est ponctuelle).
b) On prend pour G le groupe cyclique d'ordre 3. Donner un exemple
de mesure non ponctuelle y sur G telle que IIp * filz = llfllz pour toute
fonction numérique f définie dans G.
17) Les notations et conventions sont celles de l'exerc. 15.
a) Soit y une mesure bornée sur G ; pour que l'endomorphisme
y(y) : f + y + f de Lp(G, P) soit surjectif (1 4 p < + a ) , il faut et il
suffit qu'il existe c, > O tel que Ili* * gll, > c,llgll, pour tout g E Lq(G, P)
4
4
1
1
(où - + - = 1) (cf. Esp. vect. top., chap. IV, § 5 , exerc. 11).
P
9
b) Si p est une mesure de base p, si G n'est pas discret, montrer que
y(y) n'est jamais surjectif pour 1 < p , ( + CD (pour p < + CO, utiliser a), en se ramenant au cas où la densité de y par rapport à (3 appartient à X(G) ; pour p = + co, raisonner directement en remarquant
que pour f E L1(G, p) et g E Lw(G, fi), f * g est uniformément continue
pour la structure uniforme droite).
c) Si G est commutatif, 1 < p , ( 2 e t si l'endomorphisme y(y)
EXERCICES
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Montrer que, pour toute fonction g E Y(G), on a alors A(f * g) = A(f) g
(remarquer que s - g(s)A(f * a,) est une application p-intégrable de G
dans Ll(G, P)) ; réciproque. E n déduire qu'il existe une mesure bornée
et une seule y sur G telle que A(f) = p * f pour tout f E L1(G, P), et que
IlAl1 = llpll. (Avec les notations de la prop. 19 du no 7, considérer la
limite de A(f, * g) suivant un ultrafiltre plus fin que le filtre des sections de 8, en utilisant la compacité de la boule unité de d l ( G ) pour
la topologie faible a(dl(G), T(G)).)
b) Soit p une mesure bornée sur G ; montrer directement que la
norme de l'endomorphisme continu y(y) : f - y * f de Lw(G, P) est
égale à llpil. (Se ramener au cas oh p est à support compact, et où y
a une densité continue par rapport à \pl.) E n déduire de nouveau que
l'endomorphisme continu y(y) : f - p * f de L1(G, P) a une norme égale
à 1 1 ~ 1 1 .
c) On suppose G compact et p positive. Montrer que pour 1 < p < 4-03,
la norme de l'endomorphisme continu y(y) : f - p f de Lp(G, P) est
égale à Il yll.
d) On prend pour G le groupe cyclique d'ordre 3. Donner un exemple
de mesure y sur G telle que la norme de l'endomorphisme y(y) de L*(G, P)
soit strictement inférieure à Jlpll pour 1 < p < + m.
7 16) Les notations et conventions sont celles de l'exerc. 15.
a ) Montrer que, pour qu'une mesure bornée y sur G soit telle que
lly fill = IlfllI pour toute f E L1(G, P), il faut e t il suffit que y soit une
mesure ponctuelle de norme 1. (En utilisant le fait que l'endomorphisme
y(lp1) de L1(G, p) a pour norme II~LII (exerc. 15), montrer qu'on doit
nécessairement avoir, pour toute fonction f E S ( G ) ,
en déduire d'abord que tJ: = clpl, oh c est une constante de valeur
absolue 1, puis que p est ponctuelle).
b) On prend pour G le groupe cyclique d'ordre 3. Donner un exemple
de mesure non ponctuelle y sur G telle que IIp * filz = llfllz pour toute
fonction numérique f définie dans G.
17) Les notations et conventions sont celles de l'exerc. 15.
a) Soit y une mesure bornée sur G ; pour que l'endomorphisme
y(y) : f + y + f de Lp(G, P) soit surjectif (1 4 p < + a ) , il faut et il
suffit qu'il existe c, > O tel que Ili* * gll, > c,llgll, pour tout g E Lq(G, P)
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(où - + - = 1) (cf. Esp. vect. top., chap. IV, § 5 , exerc. 11).
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b) Si p est une mesure de base p, si G n'est pas discret, montrer que
y(y) n'est jamais surjectif pour 1 < p , ( + CD (pour p < + CO, utiliser a), en se ramenant au cas où la densité de y par rapport à (3 appartient à X(G) ; pour p = + co, raisonner directement en remarquant
que pour f E L1(G, p) et g E Lw(G, fi), f * g est uniformément continue
pour la structure uniforme droite).
c) Si G est commutatif, 1 < p , ( 2 e t si l'endomorphisme y(y)