représentation linéaire de G dans LP(T, v)
no 5).
b ) Soit f E .W(T, v), et soit h E .?T(G).
chap. VIII, 5 4
(raisonner comme au $ 2,
Montrer que la fonction
est de puissance phme intégrable pour p 8 v (commencer par le cas
p = 1, et utiliser le lemme 1 du 3 4, no 1). Montrer que si q est l'exposant conjugué de p, et si g E 9q(T, v), alors f(s-lx)h(s)g(x)~(s-1, x)l/p
est intégrable pour P @ v (écrire h sous la forme h,h, avec ;hl, h, dans
X(G)). Déduire alors du théorème de Lebesgue-Fubini que, pour
f E LP(T, v) et g E LqT, v), la fonction
est P-mesurable.
c) Montrer, en utilisant le cor. 2 de la prop. 18 du 3 4 et le lemme 1
du chap. VI, $ 3 , no 1, que la représentation s -+ yX,,(s) de G dans L"(T, v)
est continue pour 1 _L p < + m.
d) On suppose de plus que, pour tout s E G, la fonction x + ~(s-l, x)
est bornée. On pose, pour f E L"(T, v) :
Montrer que s + yx(s) est une représentation continue de G dans L*(T, v )
pour 1 L p < + CO. (On montrera, comme dans la démonstration de
la prop. 9 du $ 2, no 5, que s + y,(s) est une représentation de G par
des endomorphismes de LP(T, v). Puis on remarquera que si f E L"(T, v)
et h E X(G), le lemme 1 du 3 4, no 1 montre que h(~)f(s-~x)~(s-l, X)
est de puissance phme intégrable pour @ @ v. On terminera la démonstration comme dans c)).
14) a ) Soient G un groupe localement compact, f une fonction
positive semi-continue inférieurement dans G, p une mesure positive
sur G. Montrer que la fonction x + f(s-lx)dp(s) = g(x) est semis*
continue inférieurement dans G (cf. chap. IV, $ 1, no 1, th. 1) ; pour que
p et f soient convolables, il faut et il suffit que g soit intégrable pour une
mesure de Haar à gauche sur G.
b ) Sur le groupe G = R x R, soit p la mesure s, @ A, où A est la
mesure de Lebesgue sur R ; soit f(x, y) = (1 - Ixy - 21)+ ; montrer que
la fonction g(x, y) = f(x - s, y - t)dy(s, t ) est partout finie dans G
sur G.
S
mais n'est pas continue et n'est pas intégrable pour la mesure de Lebesgue
7 15) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G ; par abus de langage, on identifie dans ce qui suit
les fonctions numériques pintégrables et leurs classes dans L1(G, a) ;
même abus pour les LP(G, 13).
a) Soit A un endomorphisme continu de l'espace de Banach L1(G, P)
tel que, pour tout s E G, on ait A(f * s,) = A(f) * o, pour tout f E L1(G, Pl.
no 5).
b ) Soit f E .W(T, v), et soit h E .?T(G).
chap. VIII, 5 4
(raisonner comme au $ 2,
Montrer que la fonction
est de puissance phme intégrable pour p 8 v (commencer par le cas
p = 1, et utiliser le lemme 1 du 3 4, no 1). Montrer que si q est l'exposant conjugué de p, et si g E 9q(T, v), alors f(s-lx)h(s)g(x)~(s-1, x)l/p
est intégrable pour P @ v (écrire h sous la forme h,h, avec ;hl, h, dans
X(G)). Déduire alors du théorème de Lebesgue-Fubini que, pour
f E LP(T, v) et g E LqT, v), la fonction
est P-mesurable.
c) Montrer, en utilisant le cor. 2 de la prop. 18 du 3 4 et le lemme 1
du chap. VI, $ 3 , no 1, que la représentation s -+ yX,,(s) de G dans L"(T, v)
est continue pour 1 _L p < + m.
d) On suppose de plus que, pour tout s E G, la fonction x + ~(s-l, x)
est bornée. On pose, pour f E L"(T, v) :
Montrer que s + yx(s) est une représentation continue de G dans L*(T, v )
pour 1 L p < + CO. (On montrera, comme dans la démonstration de
la prop. 9 du $ 2, no 5, que s + y,(s) est une représentation de G par
des endomorphismes de LP(T, v). Puis on remarquera que si f E L"(T, v)
et h E X(G), le lemme 1 du 3 4, no 1 montre que h(~)f(s-~x)~(s-l, X)
est de puissance phme intégrable pour @ @ v. On terminera la démonstration comme dans c)).
14) a ) Soient G un groupe localement compact, f une fonction
positive semi-continue inférieurement dans G, p une mesure positive
sur G. Montrer que la fonction x + f(s-lx)dp(s) = g(x) est semis*
continue inférieurement dans G (cf. chap. IV, $ 1, no 1, th. 1) ; pour que
p et f soient convolables, il faut et il suffit que g soit intégrable pour une
mesure de Haar à gauche sur G.
b ) Sur le groupe G = R x R, soit p la mesure s, @ A, où A est la
mesure de Lebesgue sur R ; soit f(x, y) = (1 - Ixy - 21)+ ; montrer que
la fonction g(x, y) = f(x - s, y - t)dy(s, t ) est partout finie dans G
sur G.
S
mais n'est pas continue et n'est pas intégrable pour la mesure de Lebesgue
7 15) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G ; par abus de langage, on identifie dans ce qui suit
les fonctions numériques pintégrables et leurs classes dans L1(G, a) ;
même abus pour les LP(G, 13).
a) Soit A un endomorphisme continu de l'espace de Banach L1(G, P)
tel que, pour tout s E G, on ait A(f * s,) = A(f) * o, pour tout f E L1(G, Pl.