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EXERCICES
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à gauche sur G, A et B deux ensembles P-intégrables tels que P(A) 4 !(El).
Montrer qu'il existe
1) des ensembles disjoints N, KI, K,, . . . recouvrant A, N étant
P-nbgligeable e t les K, compacts ;
2) des ensembles disjoints Ni, Ki, K2, . . . recouvrant B, avec
les KA compacts ;
3) des s, E G tels que KA = s,K,.
(En utilisant le fait que P(xA n B) dépend continîiment de x et que
S
P(xA n B)dp(x) = P(A-l)p(B), montrer que, si P(A) f O, il existe
x E G tel que p(xA n B) # O).
10) Soient G un groupe localement compact, (3 une mesure de
Haar à gauche sur G. Quels que soient les ensembles (3-intégrables A,
B, on pose ?(A, B) = p(A U B) - P(A n B).
a) Soit A un ensemble (3-intégrable. Montrer que x - p(xA, A)
est une fonction continue.
b) Soit U un voisinage de e. Montrer qu'il existe un ensemble
compact A et un nombre E > O tels que p(xA, A) < E implique x G U.
(Prendre pour A un voisinage de e tel que A.A-l C U.)
c) Pour qu'une partie C de G soit relativement compacte, il faut
et il suffit qu'il existe un ensemble @-intégrable A et un nombre a
(O < a < 2p(A)) tels que x E C implique p(xA, A) 4 a.
i l ) a) Soit G un groupe localement compact engendré par un
voisinage compact de e. Soit cp un endomorphisme continu non surjectif de G adhérent au groupe 9 des automorphismes (bicontinus) de G
pour la topologie de la convergence compacte. Alors lim mod + = 0.
Q@, ++(P
(Soit K un voisinage compact de e engendrant G. Soit p une mesure
de Haar à gauche de G. Si p(cp(K)) > O,
assez voisin de cp, on a +(K) C q(G), donc +(G) # G, ce qui est absurde.
Donc p(cp(K)) = O. Quand + E: B tend vers cp, y($(K)) tend vers O).
b) Soit G un groupe abélien libre, somme directe G, @ G, @ . . .,
où chaque G, est isomorphe à 2. On considère G comme discret. Soit
cp l'endomorphisme non surjectif (x,, x,, . . .) - (O, x,, x,, . . .) de G.
Alors cp est limite pour la topologie de la convergence compacte d'automorphismes de G, et tout automorphisme de G est de module 1. -
12) P o i ~ r f > O e t x E R , soit Ft(x) = te-nta%'. Soit f E Z(R).
Montrer que f * F, tend vers f uniformément quand t tend vers + m.
(Montrer que les mesures F,(x)dx satisfont aux conditions du $ 2, no 7,
lemme 4, avec a = 0.)
7 13) Soit G un groupe localement compact opérant continfiment
à gauche dans un espace localement compact polonais T. Soitnt (3
une mesure de Haar à gauche sur G, v une mesure quasi-invariante
positive sur T e t ~ ( s ,
x) une fonction > O sur G x T satisfaisant aux
conditions de I'exerc. 13 du chap. VII, 5 1.
Pour f E Lp(T, v) (1 I p < + a ) , on pose
a ) Montrer que, pour t o u t s E G, yx,,(s) est un endomorphisme
isométrique de LP(T, v). Montrer que l'application s - y,,, (s) est une
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à gauche sur G, A et B deux ensembles P-intégrables tels que P(A) 4 !(El).
Montrer qu'il existe
1) des ensembles disjoints N, KI, K,, . . . recouvrant A, N étant
P-nbgligeable e t les K, compacts ;
2) des ensembles disjoints Ni, Ki, K2, . . . recouvrant B, avec
les KA compacts ;
3) des s, E G tels que KA = s,K,.
(En utilisant le fait que P(xA n B) dépend continîiment de x et que
S
P(xA n B)dp(x) = P(A-l)p(B), montrer que, si P(A) f O, il existe
x E G tel que p(xA n B) # O).
10) Soient G un groupe localement compact, (3 une mesure de
Haar à gauche sur G. Quels que soient les ensembles (3-intégrables A,
B, on pose ?(A, B) = p(A U B) - P(A n B).
a) Soit A un ensemble (3-intégrable. Montrer que x - p(xA, A)
est une fonction continue.
b) Soit U un voisinage de e. Montrer qu'il existe un ensemble
compact A et un nombre E > O tels que p(xA, A) < E implique x G U.
(Prendre pour A un voisinage de e tel que A.A-l C U.)
c) Pour qu'une partie C de G soit relativement compacte, il faut
et il suffit qu'il existe un ensemble @-intégrable A et un nombre a
(O < a < 2p(A)) tels que x E C implique p(xA, A) 4 a.
i l ) a) Soit G un groupe localement compact engendré par un
voisinage compact de e. Soit cp un endomorphisme continu non surjectif de G adhérent au groupe 9 des automorphismes (bicontinus) de G
pour la topologie de la convergence compacte. Alors lim mod + = 0.
Q@, ++(P
(Soit K un voisinage compact de e engendrant G. Soit p une mesure
de Haar à gauche de G. Si p(cp(K)) > O,
assez voisin de cp, on a +(K) C q(G), donc +(G) # G, ce qui est absurde.
Donc p(cp(K)) = O. Quand + E: B tend vers cp, y($(K)) tend vers O).
b) Soit G un groupe abélien libre, somme directe G, @ G, @ . . .,
où chaque G, est isomorphe à 2. On considère G comme discret. Soit
cp l'endomorphisme non surjectif (x,, x,, . . .) - (O, x,, x,, . . .) de G.
Alors cp est limite pour la topologie de la convergence compacte d'automorphismes de G, et tout automorphisme de G est de module 1. -
12) P o i ~ r f > O e t x E R , soit Ft(x) = te-nta%'. Soit f E Z(R).
Montrer que f * F, tend vers f uniformément quand t tend vers + m.
(Montrer que les mesures F,(x)dx satisfont aux conditions du $ 2, no 7,
lemme 4, avec a = 0.)
7 13) Soit G un groupe localement compact opérant continfiment
à gauche dans un espace localement compact polonais T. Soitnt (3
une mesure de Haar à gauche sur G, v une mesure quasi-invariante
positive sur T e t ~ ( s ,
x) une fonction > O sur G x T satisfaisant aux
conditions de I'exerc. 13 du chap. VII, 5 1.
Pour f E Lp(T, v) (1 I p < + a ) , on pose
a ) Montrer que, pour t o u t s E G, yx,,(s) est un endomorphisme
isométrique de LP(T, v). Montrer que l'application s - y,,, (s) est une