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INTÉGRATION
chap. VIII, § 4
régularisation que 'el(G) est commutatif, e t appliquer ceci aux mesures
E , , où s E G).
7) Soient G un groupe localement compact et p une mesure de
Haar à gauche sur G. Montrer que l'algèbre L1(G, P) admet un élément
unité si et seulement si G est discret. (Supposons G non discret, e t soit
f , E L1(G, P). Il existe un voisinage compact V de e tel que
Soit U un voisinage compact symétrique de e tel que U2 c V. On a,
pour presque tout x E U,
donc f , n'est pas élément unité de L1(G, p)).
7 8 ) Soient G un groupe localement compact dénombrable à l'infini opérant continçiment à gauche dans un espace localement compact
polonais T. Soit v une mesure positive sur T quasi-invariante par G.
Soit R une relation d'équivalence v-mesurable sur T, compatible avec
G. Il existe donc (chap. VI, W 3, no 4, prop. 2) un espace localement
compact polonais B, et une application V-mesurable p de T clans B,
tels que R(x, y) soit équivalente à p(x) = p(y). Soit v' une mesure pseudoimage de v par p, e t soit b -- h, (b E B) une désintégration de v par R.
Montrer que les h , sont, pour presque tout b E B, quasi-invariantes
par G.
(Soit x une fonction sur G x T satisfaisant aux conditions de
l'exerc. 13 du chap. VII, 3 1. Montrer que, pour tout s E Gy il existe
une partie VI-négligeable N(s) de B telle que ~ ( s - l , .) soit localement
?,,-intégrable pour b 6 N(s) ; pour cela, on remarquera que pour tout
4 E X(T), la fonction x - +(x)x(s-l, x) est ?,,-intégrable sauf pour b appartenant à un ensemble v'-néüli eable N(s, +), e t l'on utilisera le lemme 1 du
+
chap. VI, § 3, no 1. Posons ?,,,,=O si b~ N(s) e t Ab,, = ~ ( s - l , .). A b si b+N(s).
Montrer que l'application b - ha,, est VI-adéquate (on utilisera le lemme 3
du chap. VI, 5 3, no 1) e t quo y(s)p = 1 ?,A, dvl(b). Montrer d'autre
J
part que y(s)P = y(s)hbdvl(b) et en déduire que, pour tout s E G,
S
on a y(s)h, = ~ ( s - l , .). A b pour presque tout b, donc que pour presque
tout b on a y(s)A, = ~ ( s - l , .). 1, pour presque tout S. Utiliser alors le
cor. 2 de la prop. 1 7 du $ 4 pour en déduire que, pour presque tout b,
y(s)h, est équivalente à h, pour tout s E G).
Montrer que si v est relativement invariante par G de multiplicateur X, les h , sont, pour presque tout b, relativement invariantes de
multiplicateur X.
9) Soient G un groupe localement compact, ( 3 une mesure de Haar
INTÉGRATION
chap. VIII, § 4
régularisation que 'el(G) est commutatif, e t appliquer ceci aux mesures
E , , où s E G).
7) Soient G un groupe localement compact et p une mesure de
Haar à gauche sur G. Montrer que l'algèbre L1(G, P) admet un élément
unité si et seulement si G est discret. (Supposons G non discret, e t soit
f , E L1(G, P). Il existe un voisinage compact V de e tel que
Soit U un voisinage compact symétrique de e tel que U2 c V. On a,
pour presque tout x E U,
donc f , n'est pas élément unité de L1(G, p)).
7 8 ) Soient G un groupe localement compact dénombrable à l'infini opérant continçiment à gauche dans un espace localement compact
polonais T. Soit v une mesure positive sur T quasi-invariante par G.
Soit R une relation d'équivalence v-mesurable sur T, compatible avec
G. Il existe donc (chap. VI, W 3, no 4, prop. 2) un espace localement
compact polonais B, et une application V-mesurable p de T clans B,
tels que R(x, y) soit équivalente à p(x) = p(y). Soit v' une mesure pseudoimage de v par p, e t soit b -- h, (b E B) une désintégration de v par R.
Montrer que les h , sont, pour presque tout b E B, quasi-invariantes
par G.
(Soit x une fonction sur G x T satisfaisant aux conditions de
l'exerc. 13 du chap. VII, 3 1. Montrer que, pour tout s E Gy il existe
une partie VI-négligeable N(s) de B telle que ~ ( s - l , .) soit localement
?,,-intégrable pour b 6 N(s) ; pour cela, on remarquera que pour tout
4 E X(T), la fonction x - +(x)x(s-l, x) est ?,,-intégrable sauf pour b appartenant à un ensemble v'-néüli eable N(s, +), e t l'on utilisera le lemme 1 du
+
chap. VI, § 3, no 1. Posons ?,,,,=O si b~ N(s) e t Ab,, = ~ ( s - l , .). A b si b+N(s).
Montrer que l'application b - ha,, est VI-adéquate (on utilisera le lemme 3
du chap. VI, 5 3, no 1) e t quo y(s)p = 1 ?,A, dvl(b). Montrer d'autre
J
part que y(s)P = y(s)hbdvl(b) et en déduire que, pour tout s E G,
S
on a y(s)h, = ~ ( s - l , .). A b pour presque tout b, donc que pour presque
tout b on a y(s)A, = ~ ( s - l , .). 1, pour presque tout S. Utiliser alors le
cor. 2 de la prop. 1 7 du $ 4 pour en déduire que, pour presque tout b,
y(s)h, est équivalente à h, pour tout s E G).
Montrer que si v est relativement invariante par G de multiplicateur X, les h , sont, pour presque tout b, relativement invariantes de
multiplicateur X.
9) Soient G un groupe localement compact, ( 3 une mesure de Haar