5 4
EXERCICES
197
Construire une fonction f > O sur G, localement cenégligeable (donc
telle que p et f soient convolables) mais telle qu'aucune translatée
de f ne soit p-mesurable. (Imiter la construction du chap. V, 3, exerc. 4).
51 3) Soit G un groupe localement compact.
a) Soit p une mesure positive bornée non nulle sur G telle que
p * y = y. Montrer que le support S de y est compact. (Soit f E X+(G)
avec f # O ; on choisit une mesure de Ilaar à gauche sur G par rapport -
à laquelle on prendra les produits de convolution ; on a y * f E X(G) ;
soit x E S tel que ( y + f)(x) = sup (y * f)(y) ; montrer que (y + f)(y)
= (p f)(x) pour tout y E S).
b) Montrer que S est un sous-groupe compact de G et que p est
la mesure de Haar normalisée de S. (Utiliser a), l'exerc. 21 de Top.
gén., chap. III, 3e éd., 3 5, et l'exerc. 5 du 3).
7 4) Soit G un groupe localement compact. Pour tout t ER:,
soit p, une mesure bornée positive non nulle sur G. On suppose que l'application t - y, est continue pour la topologie O(A1(G), XX-(G)), et que
Ps t t = Ps * Pt (s, f dans R3.
a) Montrer qu'il existe un nombre c E R tel que llytll = exp(ct).
(Observer que t -+ IIytII est semi-continue inférieurement et que
I I ~ s + t l l = II PSII. lli~tll.
Utiliser la prop. 18.)
b) On suppose c = O. Montrer que p, converge faiblement quand
t -+ O vers la mesure de Hanr normalisée d'un sous-groupe compact
de G. (Utiliser la compacitk faible de la boule unité de Al(G), et montrer
que pour toute valeur d'adhérence faible p de p , suivant le filtre des
voisinages de O dans R: , on a p, * y = pt pour tout t, puis p * y = p ;
appliquer ensuite l'exerc. 3.)
q 5 ) Soient G un groupe 1ocaIement compact dénombrable à
l'infini, p une mesure de Haar à gauche sur G, ci ER:, ( v , ) , ~ ~ ~ ,
une
famille de mesures positives sur G satisfaisant aux conditions suivantes :
V
(i) v o = E,; v , ~ + , = v , * v , si u + v L a ; v , = v U ;
(ii) pour O < u L a, vu = f u . P, avec f , >, O semi-continue inférieurement ;
(iii) v u est fonction vaguement continue de u.
a) Soit f E X+(G). Montrer que, pour O < u 4 a,
b ) Soit f E X(G). Montrer que f,,, * f est de carrE p-intégrable
pour O < u L a , et qu'on a encore (1).
c) Soit f E Y ( G ) telle que va + f = O. Montrer que f = O. (On a
v, , , . + f = O pour tout entier n > O d'aprés b), donc f = O d'après le
3 3, no 3, Remarque 1)).
d) Soit v E Qf(G) telle que va + v = O. Montrer que v = O. (Régulariser v par des fonctions de X(G) et appliquer c).)
6) Soit G un groupe localement compact. Montrer que si X ( G )
est commutatif pour la convolution, G est commutatif. (Montrer par
EXERCICES
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Construire une fonction f > O sur G, localement cenégligeable (donc
telle que p et f soient convolables) mais telle qu'aucune translatée
de f ne soit p-mesurable. (Imiter la construction du chap. V, 3, exerc. 4).
51 3) Soit G un groupe localement compact.
a) Soit p une mesure positive bornée non nulle sur G telle que
p * y = y. Montrer que le support S de y est compact. (Soit f E X+(G)
avec f # O ; on choisit une mesure de Ilaar à gauche sur G par rapport -
à laquelle on prendra les produits de convolution ; on a y * f E X(G) ;
soit x E S tel que ( y + f)(x) = sup (y * f)(y) ; montrer que (y + f)(y)
= (p f)(x) pour tout y E S).
b) Montrer que S est un sous-groupe compact de G et que p est
la mesure de Haar normalisée de S. (Utiliser a), l'exerc. 21 de Top.
gén., chap. III, 3e éd., 3 5, et l'exerc. 5 du 3).
7 4) Soit G un groupe localement compact. Pour tout t ER:,
soit p, une mesure bornée positive non nulle sur G. On suppose que l'application t - y, est continue pour la topologie O(A1(G), XX-(G)), et que
Ps t t = Ps * Pt (s, f dans R3.
a) Montrer qu'il existe un nombre c E R tel que llytll = exp(ct).
(Observer que t -+ IIytII est semi-continue inférieurement et que
I I ~ s + t l l = II PSII. lli~tll.
Utiliser la prop. 18.)
b) On suppose c = O. Montrer que p, converge faiblement quand
t -+ O vers la mesure de Hanr normalisée d'un sous-groupe compact
de G. (Utiliser la compacitk faible de la boule unité de Al(G), et montrer
que pour toute valeur d'adhérence faible p de p , suivant le filtre des
voisinages de O dans R: , on a p, * y = pt pour tout t, puis p * y = p ;
appliquer ensuite l'exerc. 3.)
q 5 ) Soient G un groupe 1ocaIement compact dénombrable à
l'infini, p une mesure de Haar à gauche sur G, ci ER:, ( v , ) , ~ ~ ~ ,
une
famille de mesures positives sur G satisfaisant aux conditions suivantes :
V
(i) v o = E,; v , ~ + , = v , * v , si u + v L a ; v , = v U ;
(ii) pour O < u L a, vu = f u . P, avec f , >, O semi-continue inférieurement ;
(iii) v u est fonction vaguement continue de u.
a) Soit f E X+(G). Montrer que, pour O < u 4 a,
b ) Soit f E X(G). Montrer que f,,, * f est de carrE p-intégrable
pour O < u L a , et qu'on a encore (1).
c) Soit f E Y ( G ) telle que va + f = O. Montrer que f = O. (On a
v, , , . + f = O pour tout entier n > O d'aprés b), donc f = O d'après le
3 3, no 3, Remarque 1)).
d) Soit v E Qf(G) telle que va + v = O. Montrer que v = O. (Régulariser v par des fonctions de X(G) et appliquer c).)
6) Soit G un groupe localement compact. Montrer que si X ( G )
est commutatif pour la convolution, G est commutatif. (Montrer par