INTÉGRATION
chap. VIII, 4
e) On prend G = R2 ; soient a, b les vecteurs de la base canonique
de G sur R, p, la mesure sur 1 = (O, x) dans R ayant pour densité
par rapport à la mesure de Lebesgue la fonction sin (2"x), pn la
mesure p, 8
sur R x R ; soit d'autre part v, = Ebla" - E~ sur G .
Montrer que la suite (p,) tend vers O dans
et que la suite (v,)
tend vers O dans AI,,, mais que la suite (y, * vn) ne tend pas vers O
dans AI, (cf. chap. V, 8 5, exerc. 18).
f ) Donner un exemple où G est compact et où (y, v) - p + v considérée comme application de
x dIv dans A I , , n'est pas hypocontinue relativement aux parties compactes de AIT (même méthode
que dans l'exerc. 6 , en observant que pour un f E E donné il y a des
parties compactes H C J I ,
telles que l'ensemble des fonctions
fi
t -J f(st)dp(t), OU p parcourt H, soit de rang infini sur R).
12) Soit G un groupe localement compact non unimodulaire.
a) Montrer qu'il existe une mesure positive bornée p sur G telle
que A G . y soit non bornée (prendre p discrète).
b) Soit y' une mesure de Haar à gauche sur G. Alors p et p' sont
convolables (prop. 5). Montrer que pl et p sont non convolables.
13) Soit r un nombre tel que O < r < 1 ; pour tout entier n 1,
on désigne par A,,,
la mesure (a,. + ~-,n)/2 sur R, et l'on pose
EL,,,, = 1 l . r * h2,r * - - * L r .
a) Montrer que la suite (pn,,) converge vaguement vers une mesure
pr sur R, de support contenu dans 1 = (- 1, + 1) (prouver que pour
tout intervalle U contenu dans R, la suite (p,,,(U)) est convergente).
b) Montrer que pour r < 112, la mesure p, est étrangère à la mesure
de Lebesgue sur R, mais que pli, est la mesure induite sur 1 par la
mesure de Lebesgue.
c) Soit vl/, l'image de. pt/, par l'homothétie t - 2t dans R. Montrer
que l'on a y,/, + vllp = p112, bien que y,/, et vil4 soient toutes deux étrangéres à la mesure de Lebesgue (utiliser l'exerc. 11 a)).
9[ 1) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G, A une partie p-mesurable de G, v une mesure positive non nulle sur G. On suppose que SA est localement v-négligeable
pour tout s E G. Montrer que A est localement p-négligeable. (Se ramener au cas où A est relativement compact et v bornée. Prouver que
v et pa. P sont convolables et que v *Bq, = O, d'où O = Ilv * va.
= llvll. lIcpA4. pli). Montrer, en admettant l'hypothèse du continu, que ce
résultat peut être en défaut si A n'est pas supposé P-mesurable.
(Prendre G = Ra, prendre pour v la mesure de Haar du sous-groupe
R x (O), et appliquer l'exerc. 7 c ) du chap. V, § 8).
2) Soit H le groupe additif R muni de la topologie discréte. Soit G
le groupe localement compact R x R x H. Soient a une mesure de
Haar de G, p une mesure de Haar de R x H, et p = E,, 8 P E A(G).
chap. VIII, 4
e) On prend G = R2 ; soient a, b les vecteurs de la base canonique
de G sur R, p, la mesure sur 1 = (O, x) dans R ayant pour densité
par rapport à la mesure de Lebesgue la fonction sin (2"x), pn la
mesure p, 8
sur R x R ; soit d'autre part v, = Ebla" - E~ sur G .
Montrer que la suite (p,) tend vers O dans
et que la suite (v,)
tend vers O dans AI,,, mais que la suite (y, * vn) ne tend pas vers O
dans AI, (cf. chap. V, 8 5, exerc. 18).
f ) Donner un exemple où G est compact et où (y, v) - p + v considérée comme application de
x dIv dans A I , , n'est pas hypocontinue relativement aux parties compactes de AIT (même méthode
que dans l'exerc. 6 , en observant que pour un f E E donné il y a des
parties compactes H C J I ,
telles que l'ensemble des fonctions
fi
t -J f(st)dp(t), OU p parcourt H, soit de rang infini sur R).
12) Soit G un groupe localement compact non unimodulaire.
a) Montrer qu'il existe une mesure positive bornée p sur G telle
que A G . y soit non bornée (prendre p discrète).
b) Soit y' une mesure de Haar à gauche sur G. Alors p et p' sont
convolables (prop. 5). Montrer que pl et p sont non convolables.
13) Soit r un nombre tel que O < r < 1 ; pour tout entier n 1,
on désigne par A,,,
la mesure (a,. + ~-,n)/2 sur R, et l'on pose
EL,,,, = 1 l . r * h2,r * - - * L r .
a) Montrer que la suite (pn,,) converge vaguement vers une mesure
pr sur R, de support contenu dans 1 = (- 1, + 1) (prouver que pour
tout intervalle U contenu dans R, la suite (p,,,(U)) est convergente).
b) Montrer que pour r < 112, la mesure p, est étrangère à la mesure
de Lebesgue sur R, mais que pli, est la mesure induite sur 1 par la
mesure de Lebesgue.
c) Soit vl/, l'image de. pt/, par l'homothétie t - 2t dans R. Montrer
que l'on a y,/, + vllp = p112, bien que y,/, et vil4 soient toutes deux étrangéres à la mesure de Lebesgue (utiliser l'exerc. 11 a)).
9[ 1) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G, A une partie p-mesurable de G, v une mesure positive non nulle sur G. On suppose que SA est localement v-négligeable
pour tout s E G. Montrer que A est localement p-négligeable. (Se ramener au cas où A est relativement compact et v bornée. Prouver que
v et pa. P sont convolables et que v *Bq, = O, d'où O = Ilv * va.
= llvll. lIcpA4. pli). Montrer, en admettant l'hypothèse du continu, que ce
résultat peut être en défaut si A n'est pas supposé P-mesurable.
(Prendre G = Ra, prendre pour v la mesure de Haar du sous-groupe
R x (O), et appliquer l'exerc. 7 c ) du chap. V, § 8).
2) Soit H le groupe additif R muni de la topologie discréte. Soit G
le groupe localement compact R x R x H. Soient a une mesure de
Haar de G, p une mesure de Haar de R x H, et p = E,, 8 P E A(G).