9 3
EXERCICES
195
lesquelles on a pn(fn) > a > O pour tout n. Considérer alors l'applicaCO
tion continue u : L1(N) - Vw(T) telle que u((S,)) = 2 S,f, et obtenir
n=O
une contradiction avec ce qui a été prouvé pour T = N, en considérant
la transposée de u. Enfin, lorsque T est un espace localement compact
paracompact quelconque, T est somme topologique d'une famille (T,)
d'espaces localement compacts dénombrables à l'infini ; pour tout a,
soit ma = sup ]pI(Ta) ; montrer, en raisonnant par l'absurde et utiliW H
sant le cas précédent, que l'on a n6cessairement ma = O sauf pour
une infinité dénombrable d'indices a.)
c) Montrer que la conclusion de b ) n'est pas valable pour l'espace
localement compact non paracompact défini dans I'exerc. 18 h) du
chap. IV, 5 4.
7 11) Soit G un groupe localement compact ; sur A1(G), désignons
-
par .TI la topologie a(A1(G), X ( G ) ) , par Y,,, la topologie a(Al(G), Iem(G)),
et notons .MI, JII1 l'espace A1(G) muni respectivement Ide YI et Y,,,.
a) Soient A une partie bornée de AI, B une partie relativement
compacte de dIII. Montrer que la restriction A A x B de l'application
(p, Y) + p * v de AI x AI,, dans .MI est continue (utiliser l'exerc. 10
pour se ramener à Bvaluer une intégrale
f(st)dp(s)dv(f) lorsque
SI
f(st) =
us(s)v,(t), avec u, et O, dans X(G)).
b) Donner un exemple où G est compact (et par suite YI = SrII)
montrant que (y, v) - p * v, considérée comme application de AI x dII1
dans A,, n'est pas hypocontinue relativement aux parties relativement
compactes de .MI ni relativement aux parties relativement compactes
de 411 (cf. exerc. 6).
c) Soient A, B deux parties relativement compactes de d,,,.
Montrer que la restriction A A x B de l'application (p, v) -. p + v de
A,,, x A,,, dans AI,, est continue (même méthode que dans a)).
d) On désigne par E le
FI, la topologie o(A1(G), E), par A,, l'espace .M1(G) muni de YIv.
On rappelle que les topologies induites par Ym et YI, sur une partie
bornée de dl(G) formée de mesures positives, sont en général distinctes
(chap. V, $ 5, exerc. 18 c)). On rappelle aussi que les parties compactes
de AI, sont les mêmes que celles de A1(G) pour la topologie affaiblie
o(A1(G), (A1(G))') sur l'espace de Banach dl(G) (chap. VI, $ 2, exerc. 12).
Montrer que si A, B sont deux parties relativement compactes de AIV,
la restriction A A x B de l'application (p, v) -. p. v de dIV x .AIV
dans AIv est continue. (Se borner au cas où A et B sont compacts,
et commencer par'prouver qu'alors l'image de A x B par l'application
précédente est compacte pour o(A1(G), (A1(G))') ; on appliquera pour
cela les th. dJEberlein et de Smulian (Esp. uect. top., chap. IV, 5 2,
exerc. 15 et 13), et on se ramènera ainsi à prouver que si (p,), (v,) sont
deux suites qui convergent vers O dans d I V ,
il en est de même de la
suite (p, * v, ) ; utiliser la prop. 12 et I'exerc. 17 du chap. V, 5 5. Pour
prouver enfin que (p,v) + p * v est continue pour TI, , utiliser c) et le fait
que TI,, est moins fine que Y,,).
EXERCICES
195
lesquelles on a pn(fn) > a > O pour tout n. Considérer alors l'applicaCO
tion continue u : L1(N) - Vw(T) telle que u((S,)) = 2 S,f, et obtenir
n=O
une contradiction avec ce qui a été prouvé pour T = N, en considérant
la transposée de u. Enfin, lorsque T est un espace localement compact
paracompact quelconque, T est somme topologique d'une famille (T,)
d'espaces localement compacts dénombrables à l'infini ; pour tout a,
soit ma = sup ]pI(Ta) ; montrer, en raisonnant par l'absurde et utiliW H
sant le cas précédent, que l'on a n6cessairement ma = O sauf pour
une infinité dénombrable d'indices a.)
c) Montrer que la conclusion de b ) n'est pas valable pour l'espace
localement compact non paracompact défini dans I'exerc. 18 h) du
chap. IV, 5 4.
7 11) Soit G un groupe localement compact ; sur A1(G), désignons
-
par .TI la topologie a(A1(G), X ( G ) ) , par Y,,, la topologie a(Al(G), Iem(G)),
et notons .MI, JII1 l'espace A1(G) muni respectivement Ide YI et Y,,,.
a) Soient A une partie bornée de AI, B une partie relativement
compacte de dIII. Montrer que la restriction A A x B de l'application
(p, Y) + p * v de AI x AI,, dans .MI est continue (utiliser l'exerc. 10
pour se ramener à Bvaluer une intégrale
f(st)dp(s)dv(f) lorsque
SI
f(st) =
us(s)v,(t), avec u, et O, dans X(G)).
b) Donner un exemple où G est compact (et par suite YI = SrII)
montrant que (y, v) - p * v, considérée comme application de AI x dII1
dans A,, n'est pas hypocontinue relativement aux parties relativement
compactes de .MI ni relativement aux parties relativement compactes
de 411 (cf. exerc. 6).
c) Soient A, B deux parties relativement compactes de d,,,.
Montrer que la restriction A A x B de l'application (p, v) -. p + v de
A,,, x A,,, dans AI,, est continue (même méthode que dans a)).
d) On désigne par E le
FI, la topologie o(A1(G), E), par A,, l'espace .M1(G) muni de YIv.
On rappelle que les topologies induites par Ym et YI, sur une partie
bornée de dl(G) formée de mesures positives, sont en général distinctes
(chap. V, $ 5, exerc. 18 c)). On rappelle aussi que les parties compactes
de AI, sont les mêmes que celles de A1(G) pour la topologie affaiblie
o(A1(G), (A1(G))') sur l'espace de Banach dl(G) (chap. VI, $ 2, exerc. 12).
Montrer que si A, B sont deux parties relativement compactes de AIV,
la restriction A A x B de l'application (p, v) -. p. v de dIV x .AIV
dans AIv est continue. (Se borner au cas où A et B sont compacts,
et commencer par'prouver qu'alors l'image de A x B par l'application
précédente est compacte pour o(A1(G), (A1(G))') ; on appliquera pour
cela les th. dJEberlein et de Smulian (Esp. uect. top., chap. IV, 5 2,
exerc. 15 et 13), et on se ramènera ainsi à prouver que si (p,), (v,) sont
deux suites qui convergent vers O dans d I V ,
il en est de même de la
suite (p, * v, ) ; utiliser la prop. 12 et I'exerc. 17 du chap. V, 5 5. Pour
prouver enfin que (p,v) + p * v est continue pour TI, , utiliser c) et le fait
que TI,, est moins fine que Y,,).