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INTÉGRATION
chap. VIII, 5 3
6) a) Soit I = [O, 1). Soit f une fonction ,> O continue dans R, A
- -
support contenu dans (- 1, O). Montrer que l'ensemble des fonctions
y(s)flI (s E 1) est de rang infini dans X(1).
b) Soient fl , . . . , f n dans .f(R). Soit M l'ensemble des mesures p ~ d ( 1 )
telles que p(f,) = . . . = y(f,) = O. Montrer que l'ensemble des fonctions
y - 1 f(x + y)dp(x) (y E 1), oii p parcourt M, est de rang infini dans
.f(I). (Utiliser a).)
c) Soient g, , . . . , g, dans S ( R ) . Déduire de b) qu'il existe p 6 M et
v E A(1) telles que v(gl) = . . . = v(g,) = O, (v : p)(f) # O.
d) Déduire de c) que l'application (y, v) + v: p de d ( T ) v &(T)
dans A(T) n'est pas vaguement continue.
7) Soit G un groupe localement compact.
a) Montrer que si une mesure positive p E V1(G) admet un inverse
dans V1(G), p est nécessairement une mesure ponctuelle.
b) Prenant pour G le groupe fini 2/22, donner un exemple de niesure
non ponctuelle p EA(G) inversible dans A'(G).
8) Soit G un groupe localement compact ; on désigne par V:(G)
l'ensemble des mesures positives à support compact sur G. Montrer
que l'application (p, v) + p : v de d + ( G ) x V:(G) dans A+(G) est
continue quand on munit VJ(G) de la topologie faible o(V1(G),V(G)) et
d ( G ) de la topologie vague o(d(G),.f(G)). (Utiliser l'exerc. 5 a ) d u
chap. III, S 2 et le fait que G est paracompact.)
9) a) Soient G un groupe localement compact, B une partie bornée
de A'(G), C une partie équicontinue de V1(G); montrer que si l'on munit
V1(G) de la topologie faible o(V1(G), V(G)) et d ( G ) de la topologie
vague o(d(G), Z(G)), l'application (y, v) - y : v de B x C dans &(G)
est continue. (Remarquer que toutes les mesures v E C ont leur support
dans un même ensemble compact et utiliser la prop. 4 du clisp. III,
8 5, no 3.)
b) Si, dans dl(R), on pose p, = E,, v, = E-, , les suites (y,) et
-
(v,) tendent vers O pour la topologie faible o(dl(R), %(Et)), mais la
suite (p, . v,) ne tend pas vers O pour la topologie vague.
7 10) Pour uri espace localement compact T, on note Vm(T) l'espace de Banacb des fonctions numériques continues et bornées dans T.
On dit qu'une partie H de d l ( T ) est serrée si, pour tout E > O, il existe
une partie compacte K de T telle que 1 p /(T - K) < E pour tout y E FI.
a) Montrer que si une partie H de A1(T) est serrée et bornée pour
la topologie définie par la norme de A1(T), elle est relativement compacte pour la topologie o(dl(T), Va(T)) (observer que H est relativement compacte pour o(A1(T), X(T))).
b) On suppose en outre que T soit paracompact. Montrer alors que,
réciproquement, si H est une partie de dl(T), relativement compacte
pour o(A1(T), Vw(T)), alors H est bornée pour la norme de A1(T) et
serrée. (Considérer d'abord le cas où T = N et appliquer alors l'exerc. 17
du chap. V, 3 5. Envisager ensuite le cas où T est dénombrable à l'infini, réunion d'une suite d'ouverts relativement compacts (' U,,) telle
que ÜÏ c Un+,. Raisonner par l'absurde et montrer qu'on peut se ramener au cas oh il existerait pour chaque n une fonction numérique -continue f, définie dans T, de support contenu dans Un+, - U n , telle
que Ilf,ll < 1, et une suite (p,) de mesures appartenant à H et pour
INTÉGRATION
chap. VIII, 5 3
6) a) Soit I = [O, 1). Soit f une fonction ,> O continue dans R, A
- -
support contenu dans (- 1, O). Montrer que l'ensemble des fonctions
y(s)flI (s E 1) est de rang infini dans X(1).
b) Soient fl , . . . , f n dans .f(R). Soit M l'ensemble des mesures p ~ d ( 1 )
telles que p(f,) = . . . = y(f,) = O. Montrer que l'ensemble des fonctions
y - 1 f(x + y)dp(x) (y E 1), oii p parcourt M, est de rang infini dans
.f(I). (Utiliser a).)
c) Soient g, , . . . , g, dans S ( R ) . Déduire de b) qu'il existe p 6 M et
v E A(1) telles que v(gl) = . . . = v(g,) = O, (v : p)(f) # O.
d) Déduire de c) que l'application (y, v) + v: p de d ( T ) v &(T)
dans A(T) n'est pas vaguement continue.
7) Soit G un groupe localement compact.
a) Montrer que si une mesure positive p E V1(G) admet un inverse
dans V1(G), p est nécessairement une mesure ponctuelle.
b) Prenant pour G le groupe fini 2/22, donner un exemple de niesure
non ponctuelle p EA(G) inversible dans A'(G).
8) Soit G un groupe localement compact ; on désigne par V:(G)
l'ensemble des mesures positives à support compact sur G. Montrer
que l'application (p, v) + p : v de d + ( G ) x V:(G) dans A+(G) est
continue quand on munit VJ(G) de la topologie faible o(V1(G),V(G)) et
d ( G ) de la topologie vague o(d(G),.f(G)). (Utiliser l'exerc. 5 a ) d u
chap. III, S 2 et le fait que G est paracompact.)
9) a) Soient G un groupe localement compact, B une partie bornée
de A'(G), C une partie équicontinue de V1(G); montrer que si l'on munit
V1(G) de la topologie faible o(V1(G), V(G)) et d ( G ) de la topologie
vague o(d(G), Z(G)), l'application (y, v) - y : v de B x C dans &(G)
est continue. (Remarquer que toutes les mesures v E C ont leur support
dans un même ensemble compact et utiliser la prop. 4 du clisp. III,
8 5, no 3.)
b) Si, dans dl(R), on pose p, = E,, v, = E-, , les suites (y,) et
-
(v,) tendent vers O pour la topologie faible o(dl(R), %(Et)), mais la
suite (p, . v,) ne tend pas vers O pour la topologie vague.
7 10) Pour uri espace localement compact T, on note Vm(T) l'espace de Banacb des fonctions numériques continues et bornées dans T.
On dit qu'une partie H de d l ( T ) est serrée si, pour tout E > O, il existe
une partie compacte K de T telle que 1 p /(T - K) < E pour tout y E FI.
a) Montrer que si une partie H de A1(T) est serrée et bornée pour
la topologie définie par la norme de A1(T), elle est relativement compacte pour la topologie o(dl(T), Va(T)) (observer que H est relativement compacte pour o(A1(T), X(T))).
b) On suppose en outre que T soit paracompact. Montrer alors que,
réciproquement, si H est une partie de dl(T), relativement compacte
pour o(A1(T), Vw(T)), alors H est bornée pour la norme de A1(T) et
serrée. (Considérer d'abord le cas où T = N et appliquer alors l'exerc. 17
du chap. V, 3 5. Envisager ensuite le cas où T est dénombrable à l'infini, réunion d'une suite d'ouverts relativement compacts (' U,,) telle
que ÜÏ c Un+,. Raisonner par l'absurde et montrer qu'on peut se ramener au cas oh il existerait pour chaque n une fonction numérique -continue f, définie dans T, de support contenu dans Un+, - U n , telle
que Ilf,ll < 1, et une suite (p,) de mesures appartenant à H et pour