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EXERCICES
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2) Soit X un espace localement compact dans lequel un groupe
localement compact G opére à gauche continûment. Soit E un sousespace vectoriel de d ( X ) , stable pour les y(s) (s E G), muni d'une topologie localement convexe quasi-complète plus fine que la topologie
de la convergence compacte sur X(X). Pour tout s E G, soit yE(s) la
restriction de y(s) à E. On suppose que p E E entraîne 1 y 1 E E, et que
la représentation yE de G dans E est équicontinue. Alors, si p E E et
v E &(G), v et p sont convolables et v p = y,(v)p E E. (Utiliser
notamment la prop. 17 du chap. VI, $ 1, no 7).
3) Pour x = (xl, . . ., x,) E Rn, on pose 1xI2 = xi + . . . + xi.
Soit 4, l'ensemble des mesures y sur Rn pour lesquelles il existe un
nombre réel k tel que la fonction (1 + 1xI2)k soit p-intégrable. Soit A,
l'ensemble des mesures v sur R* pour lesquelles la fonction (1 +
est v-intégrable quel que soit k. Montrer que si p
et v e d z , p
et v sont convolables, e t y v €4, ; si p SA, et v €A2, alors y Y e d p .
(On montrera d'abord que, si u > O, u > O, on a
on en déduira que, quels que soient x, y dans Rn, on a
Soient alors p €-dl , v eA, avec y 2 O, v > O. Soit f une fonction continue
2 O dans Rn. Il existe un k tel que p = (1 f 1 ~ 1 ~ ) ~ .
y, avec pl bornée ;
soit v, = (1 + I x ~ ~ ) ~ . v ,
qui est bornée. On a
D'où la convolabilité de y et v et le fait que p * v €4 .
Raisonner de façon analogue pour y, v dans A2).
4) Soient p la mesure de Lebesgue sur R, et v la mesure de Lebesgue
sur (0, + a ( . Soient x,, x , dans R. Montrer que le produit de convolution ((E,, - E=,) + V) + p est défini, mais que y et v ne sont pas convolables.
Montrer que les produits de convolution v * ((E,, - E,,) * p) et
sont définis, mais distincts pour x, # x,.
5) Soient G un groupe compact, et p une mesure positive sur G,
de support G, telle que y * p = y. Montrer que y est la mesure de Haar
normalisée de G. (Montrer d'abord que Ilpl] = 1. Puis, si p n'est pas
mesure de Haar de G, il existe une fonction f E S + ( G ) telle que
pour tout f E G, e t telle que f(s)dy(s) > f(st)dp(s) pour certains f .
J
J
Montrer qu'alors (p y)(f) > p(f)).
BOURBAKI, XXIX
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2) Soit X un espace localement compact dans lequel un groupe
localement compact G opére à gauche continûment. Soit E un sousespace vectoriel de d ( X ) , stable pour les y(s) (s E G), muni d'une topologie localement convexe quasi-complète plus fine que la topologie
de la convergence compacte sur X(X). Pour tout s E G, soit yE(s) la
restriction de y(s) à E. On suppose que p E E entraîne 1 y 1 E E, et que
la représentation yE de G dans E est équicontinue. Alors, si p E E et
v E &(G), v et p sont convolables et v p = y,(v)p E E. (Utiliser
notamment la prop. 17 du chap. VI, $ 1, no 7).
3) Pour x = (xl, . . ., x,) E Rn, on pose 1xI2 = xi + . . . + xi.
Soit 4, l'ensemble des mesures y sur Rn pour lesquelles il existe un
nombre réel k tel que la fonction (1 + 1xI2)k soit p-intégrable. Soit A,
l'ensemble des mesures v sur R* pour lesquelles la fonction (1 +
est v-intégrable quel que soit k. Montrer que si p
et v e d z , p
et v sont convolables, e t y v €4, ; si p SA, et v €A2, alors y Y e d p .
(On montrera d'abord que, si u > O, u > O, on a
on en déduira que, quels que soient x, y dans Rn, on a
Soient alors p €-dl , v eA, avec y 2 O, v > O. Soit f une fonction continue
2 O dans Rn. Il existe un k tel que p = (1 f 1 ~ 1 ~ ) ~ .
y, avec pl bornée ;
soit v, = (1 + I x ~ ~ ) ~ . v ,
qui est bornée. On a
D'où la convolabilité de y et v et le fait que p * v €4 .
Raisonner de façon analogue pour y, v dans A2).
4) Soient p la mesure de Lebesgue sur R, et v la mesure de Lebesgue
sur (0, + a ( . Soient x,, x , dans R. Montrer que le produit de convolution ((E,, - E=,) + V) + p est défini, mais que y et v ne sont pas convolables.
Montrer que les produits de convolution v * ((E,, - E,,) * p) et
sont définis, mais distincts pour x, # x,.
5) Soient G un groupe compact, et p une mesure positive sur G,
de support G, telle que y * p = y. Montrer que y est la mesure de Haar
normalisée de G. (Montrer d'abord que Ilpl] = 1. Puis, si p n'est pas
mesure de Haar de G, il existe une fonction f E S + ( G ) telle que
pour tout f E G, e t telle que f(s)dy(s) > f(st)dp(s) pour certains f .
J
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Montrer qu'alors (p y)(f) > p(f)).
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