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INTÉGRATION
chap. VIII, 5 2
quels que soient s, f dans G.
7) Soit E un espace hilbertien ayant une base orthonormale (es)&
équipotente à R. Pour tout s E R , on désigne par U(s) l'isométrie de E
telle que U(s). et =
pour tout t ER ; la représentation linéaire s - U(s)
de R dans E n'est pas continue, bien que l'ensemble des U(s) soit équicontinu.
8) Soient G un groupe commutatif localement compact, p une
mesure de Haar sur G, f une fonction numérique finie et y-mesurable
dans G. On suppose que, pour tout s E G, la fonction numérique
soit continue dans G. Montrer que f est alors continue. (Raisonner par
l'absurde; supposant la fonction f non continue en un point x, E G,
montrer d'abord qu'il existe sur G un filtre 8 de limite e tel que
e t en déduire que pour tout x G G, on a aussi lims,,lf(sx)l = + W . Si
g = If l/(l f Ifi), déduire du dernier résultat une contradiction avec
le fait que pour tout compact K C G, on a
9) Soient G un groupe localement compact, y une mesure de Haar
à gauche sur G, f une fonction p-intégrable. Soit 8 une base de filtre
formée d'ensembles w-intégrables de mesure >O, ayant pour limite e.
1
Pour tout B E 23, on pose f,(t) = -d B ) SB
f(st)dp(s). Montrer que pour
toute partie intégrable A de G, on a limg [ f,(l)dp(L) = f(t)dp(t).
J A
J A
10) Soient G un groupe localement compact, E un espace localement convexe séparé, E' son dual, U une représentation linéaire de G
dans E , continue pour la topologie affaiblie a(E, E') sur E. On suppose
E quasi-complet pour o(E, Er), de sorte que U(p) est défini pour toute
mesure p E Vr(G). Montrer que l'application bilinéaire (y, x) - U(p). x
est hypocontinue relativement aux parties équicontinues de qr(G).
+a
1) Dans R% .soient h et p les mesures positives j - [ f(x, O)dx,
J O
+a
f - [ f(- r, x)dx (f E Y(R2)). Montrer que 1 et p sont convolables.
J O
Soit u l'homomorphisme (x, y) - x de R2 sur R. Montrer que u est
A-propre et p-propre, mais que u(h) et u(p) ne sont pas convolables.