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EXERCICES
191
Montrer que l'application (x, y) + V(x, y) est une représentation lin&
aire continue du groupe G O x H dans l'espace 2 ( E ; F) muni de la
topologie de la convergence compacte. (Utiliser la prop. 9 d'Esp. r m f .
top., chap. III, 3 4, n o 4, et le fait que, pour K compact dans G, Ul(K)
est Cquicontinu).
7 3) Soient G un groupe localement compact, U une représentation
linkaire continue de G dans un espace localement convexe E, E' le
dual de E muni de la topologie forte.
a) Montrer que, pour toute partie compacte K de G , 'U(K) est
équicontinu.
b ) Soit F l'ensemble des a' E E' tels que l'application s -+ 'U(s)al
de G dans E r soit continue. Montrer que F est un sous-espace vectoriel
fermé de E r stable pour U ( G ) et que la représentation déduite par restriction à F de la représentation contragrédiente de U est continue.
c) On suppose E quasi-complet. Soit a une mesure de Haar à
gauche sur G. Montrer que f - U(f. a) est une application continue de
X(G) dans Y ( E ; E) muni de la topologie de la convergence bornée.
(Utiliser la prop. 17 du chap. VI, 1, no 7). Montrer que F est faiblement dense dans E'. (Prouver que tU(f)ur E F pour tout a' E E ' e t toute
f E %(G), puis utiliser le cor. 3 du lemme 4). E n déduire que, si E est
semi-réflexif, la représentation contragrédiente de U dans E" muni
de la topologie forte est continue.
d) Montrer que si on prend pour U la représentation régulière
gauche de G dans L1(G, a) (or étant toujours une mesure de Haar à
gauche de G), F est le sous-espace de E' = Lm(G, cc) formé des fonctions
uniformément continues.
4) Soit H un espace hilbertien. Une représentation continue U
de G dans H est dite unitaire si les endomorphismes U(s) sont unitaires
pour tout s E G. Pour toute p E d ( G ) , soit p * la mesure conjuguée de
V
p. Montrer que, si p E A1(G), on a U(p*) = U ( p ) * .
5) Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe
fermé de G, U une représentation linéaire continue de H dans un espace
localement convexe E. Soit K une partie compacte de G. Soit Xu(K)
l'espace des fonctions continues sur G, à valeurs dans E, à support
contenu dans KH, et satisfaisant à f(xh) = U(h)-lf(x) (x E G, h EH).
Soit Y u la réunion des Xu(K), muni de la topologie limite inductive
des topologies de la convergence uniforme dans K sur chacun des
espaces XU(K). Pour f G X u et s E G, on définit V(s)f G X u par
Montrer que V est une représentation linéaire continue de G dans S v .
6) Soient G un groupe localement compact, (3 une mesure positive
non nulle relativement invariante sur G, x e t xr ses multiplicateurs A
gauche et à droite. Pour f E LC(G, P) et s c G, on pose
Alors U et V sont des représentations linéaires de G , et l'on a
EXERCICES
191
Montrer que l'application (x, y) + V(x, y) est une représentation lin&
aire continue du groupe G O x H dans l'espace 2 ( E ; F) muni de la
topologie de la convergence compacte. (Utiliser la prop. 9 d'Esp. r m f .
top., chap. III, 3 4, n o 4, et le fait que, pour K compact dans G, Ul(K)
est Cquicontinu).
7 3) Soient G un groupe localement compact, U une représentation
linkaire continue de G dans un espace localement convexe E, E' le
dual de E muni de la topologie forte.
a) Montrer que, pour toute partie compacte K de G , 'U(K) est
équicontinu.
b ) Soit F l'ensemble des a' E E' tels que l'application s -+ 'U(s)al
de G dans E r soit continue. Montrer que F est un sous-espace vectoriel
fermé de E r stable pour U ( G ) et que la représentation déduite par restriction à F de la représentation contragrédiente de U est continue.
c) On suppose E quasi-complet. Soit a une mesure de Haar à
gauche sur G. Montrer que f - U(f. a) est une application continue de
X(G) dans Y ( E ; E) muni de la topologie de la convergence bornée.
(Utiliser la prop. 17 du chap. VI, 1, no 7). Montrer que F est faiblement dense dans E'. (Prouver que tU(f)ur E F pour tout a' E E ' e t toute
f E %(G), puis utiliser le cor. 3 du lemme 4). E n déduire que, si E est
semi-réflexif, la représentation contragrédiente de U dans E" muni
de la topologie forte est continue.
d) Montrer que si on prend pour U la représentation régulière
gauche de G dans L1(G, a) (or étant toujours une mesure de Haar à
gauche de G), F est le sous-espace de E' = Lm(G, cc) formé des fonctions
uniformément continues.
4) Soit H un espace hilbertien. Une représentation continue U
de G dans H est dite unitaire si les endomorphismes U(s) sont unitaires
pour tout s E G. Pour toute p E d ( G ) , soit p * la mesure conjuguée de
V
p. Montrer que, si p E A1(G), on a U(p*) = U ( p ) * .
5) Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe
fermé de G, U une représentation linéaire continue de H dans un espace
localement convexe E. Soit K une partie compacte de G. Soit Xu(K)
l'espace des fonctions continues sur G, à valeurs dans E, à support
contenu dans KH, et satisfaisant à f(xh) = U(h)-lf(x) (x E G, h EH).
Soit Y u la réunion des Xu(K), muni de la topologie limite inductive
des topologies de la convergence uniforme dans K sur chacun des
espaces XU(K). Pour f G X u et s E G, on définit V(s)f G X u par
Montrer que V est une représentation linéaire continue de G dans S v .
6) Soient G un groupe localement compact, (3 une mesure positive
non nulle relativement invariante sur G, x e t xr ses multiplicateurs A
gauche et à droite. Pour f E LC(G, P) et s c G, on pose
Alors U et V sont des représentations linéaires de G , et l'on a